真题库

设直线$L:\{\begin{array}{l}x+y+b=0\\ x+ay-z-3=0\end{array}$在平面$\Pi$上，且平面$\Pi$与曲面$z=x^2+y^2$相切于点$(1,-2,5)$，求$a,b$之值。

设变换$\{\begin{array}{l}u=x-2y\\ v=x+ay\end{array}$可把方程$6\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}-\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=0$化简为$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial u\partial v}=0$，求常数$a$，其中$z=z(x,y)$有二阶连续的偏导数。

设$f(x,y)={\int }_0^{xy}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t$，求$\frac{x}{y}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}-2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}+\frac{y}{x}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$。

设函数$z=f(u)$，方程$u=\phi (u)+{\int }_y^{x}p(t)\mathrm{d}t$确定$u$是$x,y$的函数，其中$f(u),\phi (u)$可微，$p(t),{\phi }^{\prime }(u)$连续，且${\phi }^{\prime }(u)\ne 1$。求$p(y)\frac{\partial z}{\partial x}+p(x)\frac{\partial z}{\partial y}$。

求曲面$z=\frac{x^2}{2}+y^2$平行于平面$2x+2y-z=0$的切平面方程。

求二元函数$z=f(x,y)=x^{2}y(4-x-y)$在由直线$x+y=6$、$x$轴和$y$轴所围成的闭区域$D$上的：

设$u=f(x,y,z),\phi (x^2,{\mathrm{e}}^y,z)=0,y=\sin x$，其中$f,\phi$都具有一阶连续偏导数，且$\frac{\partial \phi }{\partial z}\ne 0$，求$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$。

在椭圆$x^2+4y^2=4$上求一点，使其到直线$2x+3y-6=0$的距离最短。

某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养$x$万尾，乙种鱼放养$y$万尾，收获时两种鱼的收获量分别为$(3-\alpha x-\beta y)x$和$(4-\beta x-2\alpha y)y$，其中$\alpha >\beta >0$。求使产鱼总量最大的放养数。

已知$f(x,y)=x^2\arctan \frac{y}{x}-y^2\arctan \frac{x}{y}$，求$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$。

设$z=f(x,y)$是由方程$z-y-x+x{\mathrm{e}}^{z-y-x}=0$所确定的二元函数，求$\mathrm{d}z$。

设$z=x^{3}f(xy,\frac{y}{x})$，$f$具有连续二阶偏导数。

在变力$\vec{F}=yz\vec{i}+zx\vec{j}+xy\vec{k}$的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$上第一卦限的点$M(\xi ,\eta ,\zeta )$。

设$z=\sin (xy)+\phi (x,\frac{x}{y})$，求$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$，其中$\phi (u,v)$在其定义域内具有二阶连续偏导数，且$y\ne 0$。

设$z=f({\mathrm{e}}^x\sin y,x^2+y^2)$，其中$f$具有二阶连续偏导数，求$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$。

某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为$p_1,p_2$，销售量分别为$q_1,q_2$，需求函数分别为$q_1=24-0.2p_1$和$q_2=10-0.05p_2$，总成本函数为$C=35+40(q_1+q_2)$。

设$\vec{n}$是曲面$2x^2+3y^2+z^2=6$在点$P(1,1,1)$处指向外侧的法向量。求函数$u=\frac{\sqrt{6x^2+8y^2}}{z}$在点$P$处沿方向$\vec{n}$的方向导数。

已知$xy=xf(z)+yg(z)$，$x{f}^{\prime }(z)+y{g}^{\prime }(z)\ne 0$，其中$z=z(x,y)$是$x$和$y$的函数。求证$[x-g(z)]\frac{\partial z}{\partial x}=[y-f(z)]\frac{\partial z}{\partial y}$。

某公司可通过电台及报纸两种形式为某种商品做销售广告。根据统计资料，销售收入$R$（万元）与电台广告费用$x_1$（万元）及报纸广告费用$x_2$（万元）之间有如下经验公式：$R=15+14x_1+32x_2-8x_1{x}_2-2x_1^2-10x_2^2$。

设$z=f(2x-y,y\sin x)$，其中$f(u,v)$具有连续的二阶偏导数，求$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$。