真题库

设函数$z=z(x,y)$由方程$x-az={\mathrm{e}}^{y+az}$确定，其中$a$为非零常数，则（　　）。

设函数$z=z(x,y)$由$z+\ln z-{\int }_y^x{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t=0$确定，则$z_x+z_y=$（　　）。

已知函数$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}(x^2+y^2)\sin \frac{1}{xy},& xy\ne 0\\ 0,& xy=0\end{array}$，则在点$(0,0)$处（　　）。

已知函数$f(x,y)=\ln (y+|x\sin y|)$，则（　　）。

已知$f(t)$连续，令$F(x,y)={\int }_0^{x-y}(x-y-t)f(t)\mathrm{d}t$，则（　　）。

设$f(u)$可导，$z=xyf(\frac{y}{x})$。若$x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=y^2(\ln y-\ln x)$，则（　　）。

设函数$f(x,y)$可微，且$f(x+1,{\mathrm{e}}^x)=x(x+1{)}^2$，$f(x,x^2)=2x^2\ln x$，则$\mathrm{d}f(1,1)=$（　　）。

设函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处可微，$f(0,0)=0$，$\mathbf{n}=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},-1){|}_{(0,0)}$，非零向量$\mathbf{\alpha }$与$\mathbf{n}$垂直，则（　　）。

关于函数$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}xy,& xy\ne 0\\ x,& y=0\\ y,& x=0\end{array}$，给出下列结论：$\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(0,0)}=1$；$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}{|}_{(0,0)}=1$；$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)=0$；$\underset{y\to 0}{\lim }\underset{x\to 0}{\lim }f(x,y)=0$。其中正确的个数为（　　）。

过点$(1,0,0)$、$(0,1,0)$，且与曲面$z=x^2+y^2$相切的平面为（　　）。

设$f(x,y)$具有一阶偏导数，且对任意的$(x,y)$，都有$f_x(x,y)>0,f_y(x,y)<0$，则（　　）。

函数$f(x,y,z)=x^{2}y+z^2$在点$(1,2,0)$处沿向量$u=(1,2,2)$的方向导数为（　　）。

二元函数$z=xy(3-x-y)$的极值点是（　　）。

已知函数$f(x,y)=\frac{{\mathrm{e}}^x}{x-y}$，则（　　）。

设函数$f(u,v)$满足$f(x+y,\frac{y}{x})=x^2-y^2$，则$\frac{\partial f}{\partial u}{|}_{u=1,v=1}$与$\frac{\partial f}{\partial v}{|}_{u=1,v=1}$依次是（　　）。

若${\int }_{-\pi }^{\pi }(x-a_1\cos x-b_1\sin x{)}^2\mathrm{d}x={\min }_{a,b\in \mathbb{R}}\{{\int }_{-\pi }^{\pi }(x-a\cos x-b\sin x{)}^2\mathrm{d}x\}$，则$a_1\cos x+b_1\sin x=$（　　）。

设$u(x,y)$在平面有界闭区域$D$上连续，在$D$的内部具有二阶连续偏导数，且满足$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}\ne 0,\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$，则（　　）。

曲面$x^2+\cos (xy)+yz+x=0$在$(0,1,-1)$处的切平面方程为（　　）。

设$z=\frac{y}{x}f(xy)$，其中函数$f$可微，则$\frac{x}{y}\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=$（　　）。

如果$f(x,y)$在$(0,0)$处连续，那么下列命题正确的是（　　）。