真题库

求函数$f(x,y)=(2x^2-y^2){\mathrm{e}}^x$的极值。

已知函数$f(u)$在$(0,+\infty )$内具有二阶导数，记$g(x,y)=f(\frac{x}{y})$。若$x^2{g}_{xx}+xy{g}_{xy}+y^2{g}_{yy}=1,g(x,x)=1,g_x{|}_{(x,x)}=\frac{2}{x}$，求$f(u)$。

设函数$f(x,y)$可微，且$\mathrm{d}f=-2x{\mathrm{e}}^{-y}\mathrm{d}x+{\mathrm{e}}^{-y}(x^2-y-1)\mathrm{d}y,f(0,0)=2$。求$f(x,y)$，并求其极值。

设函数$z=z(x,y)$由方程$z+{\mathrm{e}}^x-y\ln (1+z^2)=0$确定，求$(z_{xx}+z_{yy}){|}_{(0,0)}$。

已知函数$f(x,y)=x^3+y^3-(x+y{)}^2+3$。设$T$是曲面$z=f(x,y)$在点$(1,1,1)$处的切平面，$D$为$T$与坐标平面所围成的有界区域在$xOy$平面上的投影。

设$f(u,v)$具有二阶连续偏导，$g(x,y)=f(2x+y,3x-y)$，且$g_{xx}+g_{xy}-6g_{yy}=1$。

求函数$f(x,y)=x{\mathrm{e}}^{\cos y}+\frac{x^2}{2}$的极值。

求函数$f(x,y)=(y-x^2)(y-x^3)$的极值。

设某产品的产量$Q$由资本投入量$x$和劳动投入量$y$决定，生产函数为$Q=12x^{\frac{1}{2}}{y}^{\frac{1}{6}}$，该产品的销售单价$P$与$Q$的关系为$P=1160-1.5Q$，若单位资本投入量和单位劳动投入量的价格分别为$6$和$8$，求利润最大时的产量。

已知可微函数$f(u,v)$满足$f_u-f_v=2(u-v){\mathrm{e}}^{-(u+v)}$，且$f(u,0)=u^2{\mathrm{e}}^{-u}$。

已知曲线$C:\{\begin{array}{l}{x}^2+2y^2-z=6\\ 4x+2y+z=30\end{array}$，求$C$上的点到$xOy$坐标面距离的最大值。

求函数$f(x,y)=2\ln |x|+\frac{(x-1{)}^2+y^2}{2x^2}$的极值。

求函数$f(x,y)=x^3+8y^3-xy$的极值。

已知$f(u,v)$具有二阶连续偏导数，且$g(x,y)=xy-f(x+y,x-y)$，求$\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x\partial y}+\frac{{\partial }^{2}g}{\partial y^2}$。

设$a,b$为实数，函数$z=2+a{x}^2+b{y}^2$在点$(3,4)$处的方向导数中，沿方向$l=-3\mathbf{i}-4\mathbf{j}$的方向导数最大，最大值为$10$。

已知函数$u(x,y)$满足关系式$2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+3\frac{\partial u}{\partial x}+3\frac{\partial u}{\partial y}=0$。求$a,b$的值，使得在变换$u(x,y)=v(x,y){\mathrm{e}}^{ax+by}$之下，上述等式可化为函数$v(x,y)$的不含一阶偏导数的等式。

将长为$2m$的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。

设函数$f(u,v)$具有$2$阶连续偏导数，$y=f({\mathrm{e}}^x,\cos x)$，求$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}{|}_{x=0}$及$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}{|}_{x=0}$。

已知函数$z=z(x,y)$由方程$(x^2+y^2)z+\ln z+2(x+y+1)=0$确定，求$z=z(x,y)$的极值。

已知函数$f(x,y)=x+y+xy$，曲线$C:x^2+y^2+xy=3$，求$f(x,y)$在曲线$C$上的最大方向导数。