真题库

若级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$收敛，则级数（　　）。

设$a_n>0(n=1,2,\dots )$，若$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$发散，$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{a}_n$收敛，则下列结论正确的是（　　）。

设$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$为正项级数，下列结论中正确的是（　　）。

设有下列命题：①若$\sum _{n=1}^{\infty }(u_{2n-1}+u_{2n})$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛。②若$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_{n+1000}$收敛。③若$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$，则$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$发散。④若$\sum _{n=1}^{\infty }(u_n+v_n)$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$，$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$都收敛。则以下命题中正确的是（　　）。

设$p_n=\frac{a_n+|a_n|}{2},q_n=\frac{a_n-|a_n|}{2}$，则正确的是（　　）。

设$u_n\ne 0(n=1,2,3,\dots )$，且$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{u_n}=1$，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}(\frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+1}})$（　　）。

设幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n$与$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n{x}^n$的收敛半径分别为$\frac{\sqrt{5}}{3}$与$\frac{1}{3}$。若$b_n\ne 0(n=1,2,\dots )$，且极限$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{|a_n|},\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{|b_n|}$均存在，则幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n^2}{b_n^2}{x}^n$的收敛半径为（　　）。

设级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，则必收敛的级数为（　　）。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& 0\le x\le \frac{1}{2}\\ 2-2x,& \frac{1}{2}<x<1\end{array}$，$S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos n\pi x$，$-\infty <x<+\infty$，其中$a_n=2{\int }_0^{1}f(x)\cos n\pi x\mathrm{d}x(n=0,1,2,\dots )$，则$S(-\frac{5}{2})$等于（　　）。

下述各选项正确的是（　　）。

设$a_n>0$（$n=1,2,\cdots$），且$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$收敛，常数$\lambda \in (0,\frac{\pi }{2})$，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n(n\tan \frac{\lambda }{n})a_{2n}$（　　）。

设$u_n=(-1{)}^n\ln (1+\frac{1}{\sqrt{n}})$，则级数（　　）。

设常数$\lambda >0$，且级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n^2$收敛，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{|a_n|}{\sqrt{n^2+\lambda }}$（　　）。

级数$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n(1-\cos \frac{\alpha }{n})$（常数$\alpha >0$）（　　）。

已知级数$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{a}_n=2$，$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{2n-1}=5$，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$等于（　　）。

设$0\le a_n<\frac{1}{n}$（$n=1,2,\cdots$），则下列级数中肯定收敛的是（　　）。

设$\alpha$为常数，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }(\frac{\sin n\alpha }{n^2}-\frac{1}{\sqrt{n}})$（　　）。

设函数$f(x)=x^2$，$0\le x<1$，而$S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin n\pi x$，$-\infty <x<+\infty$，其中$b_n=2{\int }_0^{1}f(x)\sin n\pi x\mathrm{d}x$，$n=1,2,3,\cdots$，则$S(-\frac{1}{2})$等于（　　）。

若$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x-1{)}^n$在$x=-1$处收敛，则此级数在$x=2$处（　　）。

若级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$和$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n$均发散，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }(a_n+b_n)$也必发散（　　）。