真题库

求幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^{2n+1}}{n(2n-1)}$的收敛域及和函数$S(x)$。

将函数$f(x)=\frac{x}{2+x-x^2}$展开成$x$的幂级数。

求幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }(\frac{1}{2n+1}-1)x^{2n}$在区间$(-1,1)$内的和函数$S(x)$。

求幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}(1+\frac{1}{n(2n-1)})x^{2n}$的收敛区间与和函数$f(x)$。

设级数$\frac{x^4}{2\cdot 4}+\frac{x^6}{2\cdot 4\cdot 6}+\frac{x^8}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}+\cdots (-\infty <x<+\infty )$的和函数为$S(x)$。求：

设有方程$x^n+nx-1=0$，其中$n$为正整数。证明此方程存在惟一正实根$x_n$，并证明当$\alpha >1$时，级数$\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n^{\alpha }$收敛。

求幂级数$1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{2n}(|x|<1)$的和函数$f(x)$及其极值。

将函数$f(x)=\arctan \frac{1-2x}{1+2x}$展开成$x$的幂级数，并求级数$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}$的和。

某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层。汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功。设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为$k$，$k>0$）。汽锤第一次击打将桩打进地下$a$米。根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数$r(0<r<1)$。问

设函数$y(x)=1+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^6}{6!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots +\frac{x^{3n}}{(3n)!}+\cdots (-\infty <x<+\infty )$。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1+x^2}{x}\arctan x,& x\ne 0,\\ 1,& x=0\end{array}$。

已知$f_n(x)$满足$f_n^{\prime }(x)=f_n(x)+x^{n-1}{\mathrm{e}}^x(n\text{ 为正整数})$且$f_n(1)=\frac{\mathrm{e}}{n}$，求函数项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n(x)$的和。

对于幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{3^n+(-2{)}^n}\frac{x^n}{n}$，完成下列各问：

设$I_n={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\sin }^{n}x\cos x\mathrm{d}x,n=0,1,2,\dots$，求$\sum _{n=0}^{\infty }{I}_n$。

设$a_n={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\tan }^{n}x\mathrm{d}x$。完成下列各问：

设正项数列$\{a_n\}$单调减少，且$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{a}_n$发散。试问级数$\sum _{n=1}^{\infty }(\frac{1}{a_n+1}{)}^n$是否收敛？并说明理由。

设有两条抛物线$y=n{x}^2+\frac{1}{n}$和$y=(n+1)x^2+\frac{1}{n+1}$，记它们交点横坐标的绝对值为$a_n$。完成下列各问：

从点$P_1(1,0)$作$x$轴的垂线，交抛物线$y=x^2$于点$Q_1(1,1)$；再从$Q_1$作这条抛物线的切线与$x$轴交于$P_2$，然后又从$P_2$作$x$轴的垂线，交抛物线于$Q_2$，依次重复上述过程得到一系列的点$P_1,Q_1;P_2,Q_2;\dots ;P_n,Q_n;\dots$。其中$n\ge 1$为自然数，而$\overline{M_1{M}_2}$表示点$M_1$与$M_2$之间的距离。

设$a_1=2,a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{1}{a_n}),n=1,2,\cdots$。

求级数$\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{(n^2-1)2^n}$的和。