真题库

已知$f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& 0\le x<\frac{1}{2}\\ x^2,& \frac{1}{2}\le x\le 1\end{array}$的傅里叶级数为$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin n\pi x$，其和函数为$S(x)$，则$S(-\frac{7}{2})=$ 。

已知函数$f(x)=x+1$，若$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx,x\in [0,\pi ]$，则$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2\sin a_{2n-1}=$ 。

$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{(2n)!}=$ 。

设$f(x)$为周期为 2 的周期函数，且$f(x)=1-x,x\in [0,1]$。若$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos n\pi x$，则$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{2n}=$ 。

已知级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n!}{n^n}{\mathrm{e}}^{-nx}$的收敛域为$(a,+\infty )$，则$a=$ 。

幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^n$在$(0,+\infty )$内的和函数$S(x)=$ 。

幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}n{x}^{n-1}$在区间$(-1,1)$内的和函数$S(x)=$ 。

幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\mathrm{e}}^n-(-1{)}^n}{n^2}{x}^n$的收敛半径为 。

已知幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x+2{)}^n$在$x=0$处收敛，在$x=-4$处发散，则幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-3{)}^n$的收敛域为 。

设$x^2=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n\cos nx(-\pi \le x\le \pi )$，则$a_2=$ 。

$\sum _{n=1}^{\infty }n(\frac{1}{2}{)}^{n-1}=$ 。

设幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$的收敛半径为$3$，则幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n(x-1{)}^{n+1}$的收敛区间为 。

幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{2^n+(-3{)}^n}{x}^{2n-1}$的收敛半径$R=$ 。

设函数$f(x)=\pi x+x^2$（$-\pi <x<\pi$）的傅里叶级数展开式为$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$，则其中系数$b_3$的值为 。

级数$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(\ln 3{)}^n}{2^n}$的和为 。

级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(x-2{)}^{2n}}{n{4}^n}$的收敛域为 。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1,& -\pi <x\le 0\\ 1+x^2,& 0<x\le \pi \end{array}$，则其以$2\pi$为周期的傅里叶级数在点$x=\pi$处收敛于 。

幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{\sqrt{n+1}}$的收敛域是 。

设$f(x)$是周期为$2$的周期函数，它在区间$(-1,1]$上的定义为$f(x)=\{\begin{array}{ll}2,& -1<x\le 0,\\ x^3,& 0<x\le 1,\end{array}$则$f(x)$的傅里叶（Fourier）级数在$x=1$处收敛于 。