真题库

若函数$z=z(x,y)$由方程${\mathrm{e}}^{x+2y+3z}+xyz=1$确定，则$\mathrm{d}z{|}_{(0,0)}=$ 。

设二维随机变量$(X,Y)$服从正态分布$N(1,0;1,1,0)$，则$P\{XY-Y<0\}=$ 。

曲面$z=x^2(1-\sin y)+y^2(1-\sin x)$在点$(1,0,1)$处的切平面方程为 。

设$z=z(x,y)$由方程${\mathrm{e}}^{2yz}+x+y^2+z=\frac{7}{4}$确定，则$\mathrm{d}z{|}_{(\frac{1}{2},\frac{1}{2})}=$ 。

设二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-x_2^2+2a{x}_1{x}_3+4x_2{x}_3$的负惯性指数是 1，则$a$的取值范围为 。

设总体$X$的概率密度为$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\frac{2x}{3{\theta }^2},& \theta <x<2\theta ,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$，其中$\theta$是未知参数，$X_1,X_2,\dots ,X_n$为来自总体$X$的简单样本。若$c\sum _{i=1}^n{X}_i^2$是${\theta }^2$的无偏估计，则$c=$ 。

设$f(x)$是周期为 4 的可导奇函数，且$f^{\prime }(x)=2(x-1),x\in [0,2]$，则$f(7)=$ 。

一根长为 1 的细棒位于$x$轴的区间$[0,1]$上，若其线密度$\rho (x)=-x^2+2x+1$，则该细棒的质心坐标$\bar{x}=$ 。

${\int }_{-\infty }^1\frac{1}{x^2+2x+5}\mathrm{d}x=$ 。

设某商品的需求函数为$Q=40-2P$（$P$为商品价格），则该商品的边际收益为 。

曲线$L$的极坐标方程为$r=\theta$，则$L$在点$(r,\theta )=(\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$处的切线方程为 。

设${\int }_0^{a}x{\mathrm{e}}^{2x}\mathrm{d}x=\frac{1}{4}$，则$a=$ 。

设$D$是由曲线$xy+1=0$与直线$y+x=0,y=2$围成的有界区域，则$D$的面积为 。

微分方程$x{y}^{\prime }+y(\ln x-\ln y)=0$满足条件$y(1)={\mathrm{e}}^3$的解为$y=$ 。

设$L$是柱面$x^2+y^2=1$与平面$y+z=0$的交线，从$z$轴正向往$z$轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分${\oint }_{L}z\mathrm{d}x+y\mathrm{d}z=$ 。

二次积分${\int }_0^1\mathrm{d}y{\int }_y^1(\frac{{\mathrm{e}}^{x^2}}{x}-{\mathrm{e}}^{y^2})\mathrm{d}x=$ 。

${\int }_1^{+\infty }\frac{\ln x}{(1+x{)}^2}\mathrm{d}x=$ 。

设封闭曲线$L$的极坐标方程为$r=\cos 3\theta (-\frac{\pi }{6}\le \theta \le \frac{\pi }{6})$，则$L$所围成的平面图形的面积为 。

曲线$\{\begin{array}{l}x=\arctan t,\\ y=\ln \sqrt{1+t^2}\end{array}$上对应于$t=1$的点处的法线方程为 。

$\underset{x\to 0}{\lim }(2-\frac{\ln (1+x)}{x}{)}^{\frac{1}{x}}=$ 。