真题库

设函数$f(x)$在定义域$I$上的导数大于零。若对任意$x_0\in I$，曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线与直线$x=x_0$及$x$轴所围区域的面积恒为4，且$f(0)=2$，求$f(x)$的表达式。

为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设$Q$为该商品的需求量，$P$为价格，$MC$为边际成本，$\eta$为需求弹性（$\eta >0$）。

计算二重积分${\iint }_{D}x(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 2,y\ge x^2\}$。

已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比。现将一初始温度为$120{}^{\circ }\mathrm{C}$的物体在$20{}^{\circ }\mathrm{C}$的恒温介质中冷却，$30\min$后该物体降至$30{}^{\circ }\mathrm{C}$。若要将该物体的温度继续降至$21{}^{\circ }\mathrm{C}$，还需冷却多长时间？

设$A>0$，$D$是由曲线段$y=A\sin x(0\le x\le \frac{\pi }{2})$及直线$y=0,x=\frac{\pi }{2}$所围成的平面区域。$V_1,V_2$分别表示$D$绕$x$轴与绕$y$轴旋转成旋转体的体积；若$V_1=V_2$，求$A$的值。

设随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}{2}^{-x}\ln 2,& x>0,\\ 0,& x\le 0,\end{array}$。对$X$进行独立重复观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记$Y$为观测次数。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -3\\ -1& 3& -3\\ 1& -2& a\end{array}\right)$相似于矩阵$B=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 0& b& 0\\ 0& 3& 1\end{array}\right)$。

已知函数$f(x)$在区间$[a,+\infty )$上具有$2$阶导数，$f(a)=0,f^{\prime }(x)>0,f^{\prime \prime }(x)>0$。设$b>a$，曲线$y=f(x)$在点$(b,f(b))$处的切线与$x$轴的交点是$(x_0,0)$，证明$a<x_0<b$。

设$\Sigma$为曲面$z=x^2+y^2(z\le 1)$的上侧，计算曲面积分$I={\iint }_{\Sigma }(x-1{)}^3\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(y-1{)}^3\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(z-1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设函数$f(u)$具有二阶连续导数，$z=f({\mathrm{e}}^x\cos y)$满足$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=(4z+{\mathrm{e}}^x\cos y){\mathrm{e}}^{2x}$。若$f(0)=0,f^{\prime }(0)=0$，求$f(u)$的表达式。

证明$n$阶矩阵$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 1& 1& \cdots & 1\end{array}\right)$与$\left(\begin{array}{cccc}0& \cdots & 0& 1\\ 0& \cdots & 0& 2\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& \cdots & 0& n\end{array}\right)$相似。

已知函数$f(x,y)$满足$\frac{\partial f}{\partial y}=2(y+1),f(y,y)=(y+1{)}^2-(2-y)\ln y$，求曲线$f(x,y)=0$所围成的图形绕直线$y=-1$旋转所成的旋转体的体积。

设函数$y=f(x)$由方程$y^3+x{y}^2+x^{2}y+6=0$确定，求$f(x)$的极值。

已知函数$y=y(x)$满足微分方程$x^2+y^2{y}^{\prime }=1-y^{\prime }$，且$y(2)=0$，求$y(x)$的极大值和极小值。

求幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)(n+3)x^n$的收敛域及和函数。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 3& -4\\ 0& 1& -1& 1\\ 1& 2& 0& -3\end{array}\right)$，$E$为3阶单位矩阵。

设平面区域$D=\{(x,y)\mid 1\le x^2+y^2\le 4,x\ge 0,y\ge 0\}$，计算${\iint }_D\frac{x\sin (\pi \sqrt{x^2+y^2})}{x+y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设随机变量$X,Y$的概率分布相同，$X$的概率分布为$P\{X=0\}=\frac{1}{3},P\{X=1\}=\frac{2}{3}$，且$X,Y$的相关系数${\rho }_{XY}=\frac{1}{2}$。

设数列$\{a_n\},\{b_n\}$满足$0<a_n<\frac{\pi }{2},0<b_n<\frac{\pi }{2},\cos a_n-a_n=\cos b_n$，且级数$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n$收敛。

求极限$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\int }_1^x[t^2({\mathrm{e}}^{\frac{1}{t}}-1)-t]\mathrm{dt}}{x^2\ln (1+\frac{1}{x})}$。