真题库

设$f(x)$由$y-x={\mathrm{e}}^{x(1-y)}$确定，则$\underset{n\to \infty }{\lim }n(f(\frac{1}{n})-1)=$ 。

设函数$z=z(x,y)$由方程$(z+y{)}^x=xy$确定，则$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(1,2)}=$ 。

已知$y_1={\mathrm{e}}^{3x}-x{\mathrm{e}}^{2x},y_2={\mathrm{e}}^x-x{\mathrm{e}}^{2x},y_3=-x{\mathrm{e}}^{2x}$是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，该方程满足条件$y{|}_{x=0}=0,y^{\prime }{|}_{x=0}=1$的解为$y=$ 。

已知$y_1={\mathrm{e}}^{3x}-x{\mathrm{e}}^{2x},y_2={\mathrm{e}}^x-x{\mathrm{e}}^{2x},y_3=-x{\mathrm{e}}^{2x}$是某二阶常系数非齐次方程的三个解，则通解$y=$ 。

设曲线$y=f(x)$和$y=x^2-x$在点$(1,0)$处有公共的切线，则$\underset{n\to \infty }{\lim }nf(\frac{n}{n+2})=$ 。

$\{\begin{array}{l}x=\sin t,\\ y=t\sin t+\cos t\end{array}$，则$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}{|}_{t=\frac{\pi }{4}}=$ 。

设$Y$服从参数为$1$的指数分布，$a>0$，则$P\{Y\le a+1\mid Y>a\}=$ 。

设随机变量$X$服从标准正态分布$X\sim N(0,1)$，则$E(X{\mathrm{e}}^{2X})=$ 。

微分方程$y^{\prime \prime }-y^{\prime }+\frac{1}{4}y=0$通解为$y=$ 。

设函数$f(x)={\int }_{-1}^x\sqrt{1-{\mathrm{e}}^t}\mathrm{d}t$，则$y=f(x)$的反函数$x=f^{-1}(y)$在$y=0$处的导数$\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}{|}_{y=0}=$ 。

设$A$为 3 阶非零矩阵，$a_{ij}+A_{ij}=0(i,j=1,2,3)$，其中$A_{ij}$为$a_{ij}$的代数余子式，则$|A|=$ 。

$\underset{n\to \infty }{\lim }n\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2+n^2}=$ 。

设$A,B,C$是随机事件，$A,C$互不相容，$P(AB)=\frac{1}{2}$，$P(C)=\frac{1}{3}$，则$P(AB\mid \overline{C})=$ 。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}\ln \sqrt{x},& x\ge 1,\\ 2x-1,& x<1\end{array}$，$y=f(f(x))$，则$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}{|}_{x=\mathrm{e}}=$ 。

设$z=f(\ln x+\frac{1}{y})$，其中函数$f(u)$可微，则$x\frac{\partial z}{\partial x}+y^2\frac{\partial z}{\partial y}=$ 。

若函数$f(x)$满足$f^{\prime \prime }(x)+f^{\prime }(x)-2f(x)=0$及$f^{\prime \prime }(x)+f(x)=2{\mathrm{e}}^x$，则$f(x)=$ 。

曲线$y=x^2+x(x<0)$上曲率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的点坐标是 。

微分方程$y\mathrm{d}x+(x-3y^2)\mathrm{d}y=0$满足$y{|}_{x=1}=1$的解为$y=$ 。

设$A$为 3 阶矩阵，$|A|=3$，$A^{\ast }$为$A$的伴随矩阵，交换$A$的第一、二行得$B$，则$|B{A}^{\ast }|=$ 。

由$y=\frac{4}{x}$、$y=x$及$y=4x$在第一象限围成图形的面积为 。