真题库

设随机变量$X$的概率分布为$P\{X=1\}=P\{X=2\}=\frac{1}{2}$，在给定$X=i$的条件下，随机变量$Y$服从均匀分布$U(0,i)(i=1,2)$。

设总体$X$的分布函数为$F(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}1-{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{\theta }},& x\ge 0,\\ 0,& x<0,\end{array}$，其中$\theta >0$未知，$X_1,X_2,\dots ,X_n$为来自总体$X$的简单随机样本。

设函数$f(x)=\frac{x}{1+x},x\in [0,1]$。定义函数列$f_1(x)=f(x),f_2(x)=f(f_1(x)),\dots ,f_n(x)=f(f_{n-1}(x)),\dots$。设$S_n$是曲线$y=f_n(x)$、直线$x=1,y=0$所围平面图形的面积，求极限$\underset{n\to \infty }{\lim }n{S}_n$。

设函数$f(x),g(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(x)$单调增加，$0\le g(x)\le 1$。证明：

设函数$f(u)$具有连续导数，$z=f({\mathrm{e}}^x\cos y)$满足$\cos y\frac{\partial z}{\partial x}-\sin y\frac{\partial z}{\partial y}=(4z+{\mathrm{e}}^x\cos y){\mathrm{e}}^x$。若$f(0)=0$，求$f(u)$的表达式。

设$D$是由曲线$y=x^{\frac{1}{3}}$、直线$x=a(a>0)$及$x$轴所围成的平面图形，$V_x,V_y$分别是$D$绕$x$轴、$y$轴旋转一周所得旋转体的体积。若$V_y=10V_x$，求$a$的值。

设二次型$f=2(a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3{)}^2+(b_1{x}_1+b_2{x}_2+b_3{x}_3{)}^2$，记$\alpha =(a_1,a_2,a_3{)}^T,\beta =(b_1,b_2,b_3{)}^T$。

求$f(x,y)=(y+\frac{x^3}{3}){\mathrm{e}}^{x+y}$的极值。

设奇函数$f(x)$在$[-1,1]$上具有二阶导数，且$f(1)=1$。

设函数$f(x)$在$[0,+\infty )$上可导，$f(0)=0$，且$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=2$。证明：

计算${\int }_0^1\frac{f(x)}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$，其中$f(x)={\int }_1^x\frac{\ln (t+1)}{t}\mathrm{d}t$。

设$(X,Y)$是二维随机变量，$X$的边缘概率密度为$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}3x^2,& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$。在给定$X=x(0<x<1)$的条件下，$Y$的条件概率密度$f_{Y\mid X}(y\mid x)=\{\begin{array}{ll}\frac{3y^2}{x^3},& 0<y<x,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$

设生产某产品的固定成本为60000元，可变成本为20元/件，价格函数为$P=60-\frac{Q}{1000}$（$P$是单价，单位：元；$Q$是销量，单位：件），已知产销平衡。

当$x\to 0$时，$1-\cos x\cos 2x\cos 3x$与$a{x}^n$为等价无穷小，求$n$与$a$的值。

直线$L$过$A(1,0,0),B(0,1,1)$，绕$z$轴旋转得曲面$\Sigma$，与$z=0,z=2$围成立体$\Omega$。

设总体$X$的概率密度为$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\frac{{\theta }^2}{x^3}{e}^{-\frac{\theta }{x}},& x>0,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$其中$\theta >0$为未知参数，$X_1,\dots ,X_n$为来自总体$X$的简单随机样本。

设$a_0=3,a_1=1,a_{n-2}-n(n-1)a_n=0(n\ge 2)$，$S(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$。

求曲线$x^3-xy+y^3=1(x\ge 0,y\ge 0)$上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。

设$A=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 1& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& b\end{array}\right)$，求使存在$C$满足$AC-CA=B$的$a,b$，并求所有$C$。

设曲线$L$的方程为$y=\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}\ln x(1\le x\le \mathrm{e})$。