真题库

设二次型$f(x_1,x_2,x_3)$在正交变换$x=Py$下的标准形为$2y_1^2+y_2^2-y_3^2$，其中$P=(e_1,e_2,e_3)$。若$Q=(e_1,-e_3,e_2)$，则在正交变换$x=Qy$下的标准形为（　　）。

设总体$X\sim B(m,\theta )$，$X_1,X_2,\dots ,X_n$为来自该总体的简单随机样本，$\overline{X}$为样本均值，则$E[\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2]=$（　　）。

设随机变量$X,Y$不相关，且$EX=2,EY=1,DX=3$，则$E[X(X+Y-2)]=$（　　）。

设函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内连续，其中二阶导数$f^{\prime \prime }(x)$的图形如图所示，则曲线$y=f(x)$的拐点个数为（　　）。

设$\{x_n\}$是数列，下列命题中不正确的是（　　）。

函数$f(x)=\underset{t\to 0}{\lim }(1+\frac{\sin t}{x}{)}^{\frac{x^2}{t}}$在$(-\infty ,+\infty )$内（　　）。

若$A,B$为任意两个随机事件，则（　　）。

设$D$是第一象限由曲线$2xy=1,4xy=1$与直线$y=x,y=\sqrt{3}x$围成的平面区域，函数$f(x,y)$在$D$上连续，则${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$（　　）。

若级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$条件收敛，则$x=\sqrt{3}$与$x=3$依次为幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n(x-1{)}^n$的（　　）。

设函数$f(u,v)$满足$f(x+y,\frac{y}{x})=x^2-y^2$，则$\frac{\partial f}{\partial u}{|}_{u=1,v=1}$与$\frac{\partial f}{\partial v}{|}_{u=1,v=1}$依次是（　　）。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& a\\ 1& 4& a^2\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}1\\ d\\ d^2\end{array}\right)$。若集合$\Omega =\{1,2\}$，则线性方程组$Ax=b$有无穷多解的充分必要条件为（　　）。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^{\alpha }\cos \frac{1}{x^{\beta }},& x>0,\\ 0,& x\le 0,\end{array}$其中$\alpha >0,\beta >0$。若$f^{\prime }(x)$在$x=0$处连续，则（　　）。

若${\int }_{-\pi }^{\pi }(x-a_1\cos x-b_1\sin x{)}^2\mathrm{d}x={\min }_{a,b\in \mathbb{R}}\{{\int }_{-\pi }^{\pi }(x-a\cos x-b\sin x{)}^2\mathrm{d}x\}$，则$a_1\cos x+b_1\sin x=$（　　）。

设函数$f(x)$具有二阶导数，$g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x$，则在区间$[0,1]$上（　　）。

设$f(x,y)$是连续函数，则${\int }_0^1\mathrm{d}y{\int }_{-\sqrt{1-y^2}}^{1-y}f(x,y)\mathrm{d}x=$（　　）。

设函数$f(x)=\arctan x$，若$f(x)=x{f}^{\prime }(\xi )$，则$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\xi }^2}{x^2}=$（　　）。

设$p(x)=a+bx+c{x}^2+d{x}^3$，当$x\to 0$时，若$p(x)-\tan x$是比$x^3$高阶的无穷小，则下列选项中错误的是（　　）。

曲线$\{\begin{array}{l}x=t^2+7,\\ y=t^2+4t+1\end{array}$上对应于$t=1$的点处的曲率半径是（　　）。

设连续型随机变量$X_1,X_2$相互独立，且方差均存在，$X_1,X_2$的概率密度分别为$f_1(x),f_2(x)$，随机变量$Y_1$的概率密度为$f_{Y_1}(y)=\frac{1}{2}[f_1(y)+f_2(y)]$，随机变量$Y_2=\frac{1}{2}(X_1+X_2)$，则（　　）。

当$x\to 0^{+}$时，若${\ln }^{\alpha }(1+2x),(1-\cos x{)}^{\frac{1}{\alpha }}$均是比$x$高阶的无穷小，则$\alpha$的可能取值范围是（　　）。