真题库

设$y=y(x)$由$x^2-y+1={\mathrm{e}}^y$确定，则$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}{|}_{x=0}=$ 。

$\mathrm{grad}(xy+\frac{z}{y}){|}_{(2,1,1)}=$ 。

设连续函数$z=f(x,y)$满足$\underset{(x,y)\to (0,1)}{\lim }\frac{f(x,y)-2x+y-2}{\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}}=0$，则$\mathrm{d}z{|}_{(0,1)}=$ 。

$\underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\lim }(\tan x{)}^{\frac{1}{\cos x-\sin x}}=$ 。

${\int }_0^{2}x\sqrt{2x-x^2}\mathrm{d}x=$ 。

设$\Sigma =\{(x,y,z)\mid x+y+z=1,x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0\}$，则${\iint }_{\Sigma }{y}^2\mathrm{d}S=$ 。

设$\alpha$为$3$维单位列向量，$E$为$3$阶单位矩阵，则$E-\alpha {\alpha }^T$的秩为 。

若二次曲面的方程为$x^2+3y^2+z^2+2axy+2xz+2yz=4$，经过正交变换化为$y_1^2+4z_1^2=4$，则$a=$ 。

设二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x^{T}Ax$的秩为$1$，$A$的各行元素之和为$3$，则$f$在正交变换$x=Qy$下的标准形为 。

设$z=(1+\frac{x}{y}{)}^{\frac{x}{y}}$，则$\mathrm{d}z{|}_{(1,1)}=$ 。

二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+3x_2^2+x_3^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+2x_2{x}_3$的正惯性指数为 。

设二维随机变量$(X,Y)$服从正态分布$N(\mu ,\mu ;{\sigma }^2,{\sigma }^2;0)$，则$E(X{Y}^2)=$ 。

$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1+2^x}{2}{)}^{\frac{1}{x}}=$ 。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x},& x>0,\\ 0,& x\le 0\end{array}(\lambda >0)$，则${\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)\mathrm{d}x=$ 。

设函数$F(x,y)={\int }_0^{xy}\frac{\sin t}{1+t^2}\mathrm{d}t$，则$\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2}{|}_{\begin{array}{c}x=0\\ y=2\end{array}}=$ 。

曲线$\tan (x+y+\frac{\pi }{4})={\mathrm{e}}^y$在点$(0,0)$处的切线方程为 。

设$f(x)=\underset{t\to 0}{\lim }x(1+3t{)}^{\frac{x}{t}}$，则$f^{\prime }(x)=$ 。

设$L$是柱面方程$x^2+y^2=1$与平面$z=x+y$的交线，从$z$轴正向往$z$轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分${\oint }_{L}xz\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y+\frac{y^2}{2}\mathrm{d}z=$ 。

曲线$y={\int }_0^x\tan t\mathrm{d}t(0\le x\le \frac{\pi }{4})$的弧长$s=$ 。

微分方程$y^{\prime }+y={\mathrm{e}}^{-x}\cos x$满足条件$y(0)=0$的解为$y=$ 。