真题库

设随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{9}{x}^2,& 0<x<3,\\ 0,& \text{其他}\end{array}$，令随机变量$Y=\{\begin{array}{ll}2,& X\le 1,\\ X,& 1<X<2,\\ 1,& X\ge 2\end{array}$

设函数$f(x)=\ln x+\frac{1}{x}$。

设平面内区域$D$由直线$x=3y,y=3x$及$x+y=8$围成，计算${\iint }_D{x}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

过$(0,1)$作曲线$L:y=\ln x$的切线，切点为$A$；$L$与$x$轴交于$B$，区域$D$由$L$与直线$AB$围成。

设二维离散型随机变量$(X,Y)$的概率分布为

已知$L$是第一象限中从$(0,0)$沿$x^2+y^2=2x$到$(2,0)$，再沿$x^2+y^2=4$到$(0,2)$的曲线段，计算$I={\int }_{L}3x^{2}y\mathrm{d}x+(x^3+x-2y)\mathrm{d}y$。

求幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{4n^2+4n+3}{2n+1}{x}^{2n}$的收敛域及和函数。

某企业生产甲、乙产品的固定成本为$10000$万元，产量为$x,y$件，边际成本分别为$20+\frac{x}{2}$与$6+y$万元每件。

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& a& 0& 0\\ 0& 1& a& 0\\ 0& 0& 1& a\\ a& 0& 0& 1\end{array}\right)$，$b=(1,-1,0,0{)}^T$。

已知$f(x)=\frac{1+x}{\sin x}-\frac{1}{x}$，记$a=\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$。

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ -1& 0& a\\ 0& a& -1\end{array}\right)$，二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x^T{A}^{T}Ax$的秩为$2$。

设$X,Y$相互独立且均服从参数为$1$的指数分布，$U=\max (X,Y),V=\min (X,Y)$。

计算$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^{x^2}-{\mathrm{e}}^{2-2\cos x}}{x^4}$。

求$f(x,y)=x{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}$的极值。

设$f^{\prime \prime }(x)+f^{\prime }(x)-2f(x)=0$及$f^{\prime \prime }(x)+f(x)=2{\mathrm{e}}^x$。

证明方程$x^n+x^{n-1}+\cdots +x=1(n>1)$在$(\frac{1}{2},1)$内有且仅有一个实根，记为$x_n$。

计算${\iint }_{D}xy\mathrm{d}\sigma$，其中$D$由极坐标曲线$r=1+\cos \theta (0\le \theta \le \pi )$与极轴围成。

计算${\iint }_D{\mathrm{e}}^{x}xy\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D$以$y=\sqrt{x}$、$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$及$y$轴为边界的无界区域。

设$X,Y$相互独立且分别服从$N(\mu ,{\sigma }^2)$与$N(\mu ,2{\sigma }^2)$，其中$\sigma >0$未知，设$Z=X-Y$。

证明：$x\ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x\ge 1+\frac{x^2}{2}(-1<x<1)$。