真题库

曲线$y=\sqrt{x^2-1}$、直线$x=2$及$x$轴所围图形绕$x$轴旋转的体积为 。

设平面区域$D$由直线$y=x$，圆$x^2+y^2=2y$及$y$轴围成，则二重积分${\iint }_{D}xy\mathrm{d}\sigma =$ 。

3 阶常系数线性齐次微分方程$y^{\prime \prime \prime }-2y^{\prime \prime }+y^{\prime }-2y=0$的通解为$y=$ 。

设可导函数$y=y(x)$由方程${\int }_0^{x+y}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t={\int }_0^{x}x\sin t^2\mathrm{d}t$确定，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{|}_{x=0}=$ 。

设$\Omega =\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le z\le 1\}$，则$\Omega$的形心的竖坐标$\overline{z}=$ 。

函数$y=\ln (1-2x)$在$x=0$处的$n$阶导数$y^{(n)}(0)=$ 。

设随机变量$X$的概率分布为$P\{X=k\}=\frac{C}{k!},k=0,1,2,\cdots$，则$E(X^2)=$ 。

设位于曲线$y=\frac{1}{\sqrt{x(1+{\ln }^{2}x)}}(\mathrm{e}\le x<+\infty )$下方、$x$轴上方的无界区域为$G$，则$G$绕$x$轴旋转一周所得空间区域的体积是 。

${\int }_0^{{\pi }^2}\sqrt{x}\cos \sqrt{x}\mathrm{d}x=$ 。

设${\alpha }_1=(1,2,-1,0{)}^T$，${\alpha }_2=(1,1,0,2{)}^T$，${\alpha }_3=(2,1,1,a{)}^T$，若由${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$生成的向量空间的维数是$2$，则$a=$ 。

设$X_1,X_2,\dots ,X_n$是来自总体$N(\mu ,{\sigma }^2)(\sigma >0)$的简单随机样本，统计量$T=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$，则$E(T)=$ 。

当$0\le \theta \le \pi$时，对数螺线$r={\mathrm{e}}^{\theta }$的弧长为 。

设$A,B$为$3$阶矩阵，且$|A|=3,|B|=2,|A^{-1}+B|=2$，则$|A+B^{-1}|=$ 。

若曲线$y=x^3+a{x}^2+bx+1$有拐点$(-1,0)$，则$b=$ 。

设$\{\begin{array}{l}x={\mathrm{e}}^{-t},\\ y={\int }_0^t\ln (1+u^2)\mathrm{d}u\end{array}$，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}{|}_{t=0}=$ 。

曲线$y=\frac{2x^3}{x^2+1}$的渐近线方程为 。

已知一个长方形的长$l$以$2\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$的速率增加，宽$w$以$3\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$的速率增加，则当$l=12\mathrm{cm},w=5\mathrm{cm}$时，它的对角线增加的速率为 。

设某商品的收益函数为$R(p)$，收益弹性为$1+p^3$，其中$p$为价格，且$R(1)=1$，则$R(p)=$ 。

已知曲线$L$的方程为$y=1-|x|(x\in [-1,1])$，起点是$(-1,0)$，终点是$(1,0)$，则曲线积分${\int }_{L}xy\mathrm{d}x+x^2\mathrm{d}y=$ 。

设某产品的需求函数为$Q=Q(p)$，其对价格$p$的弹性${\epsilon }_p=0.2$，则当需求量为$10000$件时，价格增加$1$元会使产品收益增加 元。