真题库

已知曲线$L:\{\begin{array}{l}x=f(t),\\ y=\cos t\end{array}(0\le t<\frac{\pi }{2})$，其中函数$f(t)$具有连续导数，且$f(0)=0,f^{\prime }(t)>0(0<t<\frac{\pi }{2})$。若曲线切线与$x$轴交点到切点距离恒为$1$，求$f(t)$及以$L$与坐标轴为边界的面积。

设随机变量$X$与$Y$的概率分布见下表，且$P\{X^2=Y^2\}=1$。

证明$4\arctan x-x+\frac{4\pi }{3}-\sqrt{3}=0$恰有两个实根。

设$X_1,X_2,\cdots ,X_n$为来自正态总体$N({\mu }_0,{\sigma }^2)$的简单随机样本，其中${\mu }_0$已知，${\sigma }^2>0$未知。$\overline{X}$和$S^2$分别表示样本均值和样本方差。

设函数$y=y(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}{t}^3+t+\frac{1}{3},\\ y=\frac{1}{3}{t}^3-t+\frac{1}{3}\end{array}$确定，求$y=y(x)$的极值和曲线$y=y(x)$的凹凸区间及拐点。

求$\int \frac{\arcsin \sqrt{x}+\ln x}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$。

设函数$y(x)$具有二阶导数，且曲线$l:y=y(x)$与直线$y=x$相切于原点，记$\alpha$为曲线$l$在点$(x,y)$处切线的倾角，若$\frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$，求$y(x)$的表达式。

设二维随机变量$(X,Y)$服从区域$G$上的均匀分布，其中$G$由$x-y=0$，$x+y=2$与$y=0$围成。

求方程$k\arctan x-x=0$不同实根的个数，其中$k$为参数。

已知$f(u,v)$具有连续的二阶偏导数，$f(1,1)=2$是极值，$z=f[x+y,f(x,y)]$，求$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}{|}_{(1,1)}$。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+2\sin x}-x-1}{x\ln (1+x)}$。

设函数$z=f(xy,yg(x))$，其中函数$f$具有二阶连续偏导数，函数$g(x)$可导且在$x=1$处取得极值$g(1)=1$，求$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}{|}_{\begin{array}{c}x=1\\ y=1\end{array}}$。

一容器的内侧是由图中曲线绕$y$轴旋转一周而成的曲面，该曲线由$x^2+y^2=2y(y\ge \frac{1}{2})$与$x^2+y^2=1(y\le \frac{1}{2})$连接而成。长度单位为$\text{m}$，重力加速度为$g\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$，水的密度为$10^3\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}$。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{\ln (1+x)}{x}{)}^{\frac{1}{{\mathrm{e}}^x-1}}$。

设向量组${\alpha }_1=(1,0,1{)}^T$，${\alpha }_2=(0,1,1{)}^T$，${\alpha }_3=(1,3,5{)}^T$不能由向量组${\beta }_1=(1,1,1{)}^T$，${\beta }_2=(1,2,3{)}^T$，${\beta }_3=(3,4,a{)}^T$线性表示。

已知函数$F(x)=\frac{{\int }_0^x\ln (1+t^2)\mathrm{d}t}{x^a}$，设$\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }F(x)=0$，求$a$的取值范围。

设$f(x)$在$[0,1]$有连续导数，$f(0)=1$，且${\iint }_{D_t}{f}^{\prime }(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{D_t}f(t)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D_t=\{(x,y)\mid 0\le y\le t-x,0\le x\le t\}(0<t\le 1)$，求$f(x)$。

已知函数$f(x,y)$具有二阶连续偏导数，且$f(1,y)=0$，$f(x,1)=0$，${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=a$，其中$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$，计算二重积分$I={\iint }_{D}xy\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设$A$为三阶实对称矩阵，$r(A)=2$，且$A\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$。