真题库

箱中装有$6$个球，其中红、白、黑球的个数分别为$1,2,3$个，现从箱中随机取出$2$个球，记$X$为取出的红球个数，$Y$为取出的白球个数。

一个高为$l$的柱体形贮油罐，底面是长轴为$2a$、短轴为$2b$的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为$\frac{3}{2}b$时（如图），计算油的质量。长度单位为$\text{m}$，质量单位为$\text{kg}$，油的密度为常数$\rho \frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}$。

设$P$为椭球面$S:x^2+y^2+z^2-yz=1$上的动点，若$S$在点$P$处的切平面与$xOy$面垂直，求点$P$的轨迹$C$，并计算曲面积分$I={\iint }_{\Sigma }\frac{(x+\sqrt{3})|y-2z|}{\sqrt{4+y^2+z^2-4yz}}\mathrm{d}S$，其中$\Sigma$是椭球面$S$位于曲线$C$上方的部分。

已知二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x^{T}Ax$在正交变换$x=Qy$下的标准形为$y_1^2+y_2^2$，且$Q$的第$3$列为$(\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^T$。

设总体$X$的概率分布见下表，其中参数$\theta \in (0,1)$未知。以$N_i$表示来自总体$X$的容量为$n$的简单随机样本中等于$i$的个数（$i=1,2,3$）。

求函数$f(x)={\int }_1^{x^2}(x^2-t){\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t$的单调区间与极值。

计算二重积分$I={\iint }_D{r}^2\sin \theta \sqrt{1-r^2\cos 2\theta }\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$，其中$D=\{(r,\theta )\mid 0\le r\le \sec \theta ,0\le \theta \le \frac{\pi }{4}\}$。

求极限$\underset{x\to +\infty }{\lim }(x^{\frac{1}{x}}-1{)}^{\frac{1}{\ln x}}$。

求幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{2n-1}{x}^{2n}$的收敛域及和函数。

设函数$f(x)$在$[0,3]$上连续，在$(0,3)$内存在二阶导数，且$2f(0)={\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=f(2)+f(3)$

设函数$u=f(x,y)$具有二阶连续偏导数，且满足等式$4\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+12\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}+5\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$。确定$a,b$的值，使等式在变换$\xi =x+ay,\eta =x+by$下化简为$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }=0$。

设$A=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 4\\ -1& 3& a\\ 4& a& 0\end{array}\right)$，正交矩阵$Q$使得$Q^{T}AQ$为对角矩阵。若$Q$的第$1$列为$\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1{)}^T$，求$a,Q$。

设函数$f(x)$在闭区间$[0,1]$上连续，在开区间$(0,1)$内可导，且$f(0)=0,f(1)=\frac{1}{3}$。证明：存在$\xi \in (0,\frac{1}{2}),\eta \in (\frac{1}{2},1)$，使得$f^{\prime }(\xi )+f^{\prime }(\eta )={\xi }^2+{\eta }^2$。

计算二重积分${\iint }_D(x+y{)}^3\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D$由曲线$x=\sqrt{1+y^2}$与直线$x+\sqrt{2}y=0$及$x-\sqrt{2}y=0$围成。

设$A=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1& 1\\ 0& \lambda -1& 0\\ 1& 1& \lambda \end{array}\right)$，$b=\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ 1\end{array}\right)$，已知线性方程组$Ax=b$存在两个不同的解。

求函数$u=xy+2yz$在约束条件$x^2+y^2+z^2=10$下的最大值和最小值。

求微分方程$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=2x{\mathrm{e}}^x$的通解。

设函数$y=f(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=2t+t^2,\\ y=\psi (t)\end{array}(t>-1)$所确定，其中$\psi (t)$具有$2$阶导数，且$\psi (1)=\frac{5}{2},{\psi }^{\prime }(1)=6$。已知$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{3}{4(1+t)}$，求函数$\psi (t)$。

设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)=A{\mathrm{e}}^{-2x^2+2xy-y^2},-\infty <x<+\infty ,-\infty <y<+\infty$。求常数$A$及条件概率密度$f_{Y\mid X}(y\mid x)$。