真题库

设$y=y(x)$是区间$(-\pi ,\pi )$内过点$(-\frac{\pi }{\sqrt{2}},\frac{\pi }{\sqrt{2}})$的光滑曲线。当$-\pi <x<0$时，曲线上任一点处的法线都过原点；当$0\le x<\pi$时，函数$y(x)$满足$y^{\prime \prime }+y+x=0$。求$y(x)$的表达式。

设曲线$y=f(x)$，其中$f(x)$是可导函数，且$f(x)>0$。已知曲线$y=f(x)$与直线$y=0,x=1$及$x=t(t>1)$所围成的曲边梯形绕$x$轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的$\pi t$倍，求该曲线方程。

椭球面$S_1$是椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$绕$x$轴旋转而成，圆锥面$S_2$是由过点$(4,0)$且与该椭圆相切的直线绕$x$轴旋转而成。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1-\cos x)[x-\ln (1+\tan x)]}{{\sin }^{4}x}$。

计算二重积分${\iint }_D(x-y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D=\{(x,y)\mid (x-1{)}^2+(y-1{)}^2\le 2,y\ge x\}$。

设总体$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\lambda }^{2}x{\mathrm{e}}^{-\lambda x},& x>0,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$，其中参数$\lambda >0$未知，$X_1,X_2,\dots ,X_n$是来自总体$X$的简单随机样本。

设$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ -1& 1& 1\\ 0& -4& -2\end{array}\right),{\xi }_1=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$。

设$a_n$为曲线$y=x^n$与$y=x^{n+1}(n=1,2,\dots )$所围成区域的面积。

设二次型$f(x_1,x_2,x_3)=a{x}_1^2+a{x}_2^2+(a-1)x_3^2+2x_1{x}_3-2x_2{x}_3$。

设$z=f(x+y,x-y,xy)$，其中$f$具有$2$阶连续偏导数。

设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-x},& 0<y<x,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$

计算曲面积分$I={\iint }_{\Sigma }\frac{x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x^2+y^2+z^2{)}^{\frac{3}{2}}}$，其中$\Sigma$是曲面$2x^2+2y^2+z^2=4$的外侧。

设非负函数$y=y(x)(x\ge 0)$满足微分方程$x{y}^{\prime \prime }-y^{\prime }+2=0$。当曲线$y=y(x)$过原点时，其与直线$x=1$及$y=0$围成区域$D$的面积为$2$，求$D$绕$y$轴旋转所得旋转体体积。

计算不定积分$\int \ln (1+\sqrt{\frac{1+x}{x}})\mathrm{d}x(x>0)$。

求二元函数$f(x,y)=x^2(2+y^2)+y\ln y$的极值。

袋中有1个红球、2个黑球与3个白球。现有放回地从袋中取两次，每次取一个球，以$X,Y,Z$分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。

设$z=z(x,y)$是由方程$x^2+y^2-z=\phi (x+y+z)$所确定的函数，其中$\phi$具有$2$阶导数且${\phi }^{\prime }\ne -1$。

已知曲线$C:\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-2z^2=0,\\ x+y+3z=5.\end{array}$求曲线$C$距离$xOy$面最远的点和最近的点。

计算${\int }_0^1\frac{x^2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x$。