真题库

计算$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}\ln \frac{\sin x}{x}$。

设随机变量$X$与$Y$相互独立，$P\{X=i\}=\frac{1}{3}(i=-1,0,1)$，$Y$的概率密度为$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}1,& 0\le y\le 1,\\ 0,& \text{其他}\end{array}$，记$Z=X+Y$。

计算${\iint }_D\max \{xy,1\}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,0\le y\le 2\}$。

设某企业生产线上产品合格率为$0.96$，不合格产品中只有$\frac{3}{4}$产品可进行再加工，且再加工合格率为$0.8$，其余均为废品。每件合格品获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均利润不低于2万元，问企业每天至少应生产多少件产品？

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{[\sin x-\sin (\sin x)]\sin x}{x^4}$。

计算曲线积分${\int }_L\sin 2x\mathrm{d}x+2(x^2-1)y\mathrm{d}y$，其中$L$是曲线$y=\sin x$上从点$(0,0)$到点$(\pi ,0)$的一段。

设银行存款的年利率为$r=0.05$，并依年复利计算。某基金会希望通过存款$A$万元实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，……，第$n$年取出$10+9n$万元，并能按此规律一直提取下去，问$A$至少应为多少万元？

设函数$y=y(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=x(t),\\ y={\int }_0^{t^2}\ln (1+u)\mathrm{d}u\end{array}$确定，其中$x(t)$是初值问题$\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}-2t{\mathrm{e}}^{-x}=0,\\ x{|}_{t=0}=0\end{array}$的解，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。

设函数$f(x)={\int }_0^1|t(t-x)|\mathrm{d}t(0<x<1)$，求$f(x)$的极值、单调区间及曲线$y=f(x)$的凹凸区间。

设$f(x)$是区间$[0,+\infty )$上具有连续导数的单调增加函数，且$f(0)=1$。对于任意的$t\in [0,+\infty )$，直线$x=0,x=t$、曲线$y=f(x)$以及$x$轴所围成曲边梯形绕$x$轴旋转一周生成旋转体。若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求$f(x)$的表达式。

设$f(x)$是连续函数。

设$f(x)=1-x^2(0\le x\le \pi )$展开成（以$2\pi$为周期的）余弦级数，并求级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^2}$的和。

设$n$元线性方程组$Ax=b$，其中$A=\left(\begin{array}{ccccc}2a& 1& 0& \cdots & 0\\ a^2& 2a& 1& \ddots & ⋮\\ 0& \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ ⋮& \ddots & a^2& 2a& 1\\ 0& \cdots & 0& a^2& 2a\end{array}\right),x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)$。

设$A$为$3$阶矩阵，${\alpha }_1,{\alpha }_2$为$A$的分别属于特征值$-1,1$的特征向量，向量${\alpha }_3$满足$A{\alpha }_3={\alpha }_2+{\alpha }_3$。

设$\alpha ,\beta$是$3$维列向量，矩阵$A=\alpha {\alpha }^T+\beta {\beta }^T$，其中${\alpha }^T$为$\alpha$的转置，${\beta }^T$为$\beta$的转置。

求函数$u=x^2+y^2+z^2$在约束条件$z=x^2+y^2$和$x+y+z=4$下的最大和最小值。

设$f(x)$是周期为$2$的连续函数。

设$X_1,X_2,\dots ,X_n$是总体为$N(\mu ,{\sigma }^2)$的简单随机样本。记$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2,T={\overline{X}}^2-\frac{1}{n}{S}^2$。

设函数$f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内二阶可导且存在相等的最大值，又$f(a)=g(a),f(b)=g(b)$，证明：存在$\xi \in (a,b)$，使得$f^{\prime \prime }(\xi )=g^{\prime \prime }(\xi )$。