真题库

设随机变量$X$与$Y$独立同分布，$X$的概率分布见下表。记$U=\max \{X,Y\}$，$V=\min \{X,Y\}$。

设函数$f(x)$具有连续的一阶导数，且满足$f(x)={\int }_0^x(x^2-t^2)f^{\prime }(t)\mathrm{d}t+x^2$，求$f(x)$的表达式。

设函数$y=y(x)$由方程$y\ln y-x+y=0$确定，试判断曲线$y=y(x)$在点$(1,1)$附近的凹凸性。

计算曲面积分$I={\iint }_{\Sigma }xz\mathrm{d}y\mathrm{d}z+2zy\mathrm{d}z\mathrm{d}x+3xy\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$\Sigma$为曲面$z=1-x^2-\frac{y^2}{4}(0\le z\le 1)$的上侧。

设$f(x)$是区间$[0,\frac{\pi }{4}]$上的单调、可导函数，且满足${\int }_0^{f(x)}{f}^{-1}(t)\mathrm{d}t={\int }_0^{x}t\frac{\cos t-\sin t}{\sin t+\cos t}\mathrm{d}t$，其中$f^{-1}$是$f$的反函数，求$f(x)$。

设$3$阶实对称矩阵$A$的特征值${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=2,{\lambda }_3=-2$，${\alpha }_1=(1,-1,1{)}^T$是$A$的属于${\lambda }_1$的一个特征向量，记$B=A^5-4A^3+E$，其中$E$为$3$阶单位矩阵。

将函数$f(x)=\frac{1}{x^2-3x-4}$展开成$x-1$的幂级数，并指出其收敛区间。

设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}2-x-y,& 0<x<1,0<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$。

求微分方程$y^{\prime \prime }(x+y^{\prime 2})=y^{\prime }$满足初始条件$y(1)=y^{\prime }(1)=1$的特解。

设函数$f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内二阶可导且存在相等的最大值，又$f(a)=g(a),f(b)=g(b)$，证明：

求函数$f(x,y)=x^2+2y^2-x^2{y}^2$在区域$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 4,y\ge 0\}$上的最大值和最小值。

设总体$X$的概率密度为$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2\theta },& 0<x<\theta ,\\ \frac{1}{2(1-\theta )},& \theta \le x<1,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$其中参数$\theta (0<\theta <1)$未知，$X_1,X_2,\dots ,X_n$是来自总体$X$的简单随机样本，$\overline{X}$是样本均值。

设二元函数$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& |x|+|y|\le 1,\\ \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}},& 1<|x|+|y|\le 2,\end{array}$，计算二重积分${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$，其中$D=\{(x,y)\mid |x|+|y|\le 2\}$。

设幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$在$(-\infty ,+\infty )$内收敛，其和函数$y(x)$满足$y^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }-4y=0,y(0)=0,y^{\prime }(0)=1$。

设$D$是位于曲线$y=\sqrt{x}{a}^{-\frac{x}{(2a)}}(a>1,0\le x<+\infty )$下方、$x$轴上方的无界区域。

已知函数$f(u)$具有二阶导数，且$f^{\prime }(0)=1$，函数$y=y(x)$由方程$y-x{\mathrm{e}}^{y-1}=1$所确定。设$z=f(\ln y-\sin x)$，求：

设线性方程组①$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=0,\\ x_1+2x_2+a{x}_3=0,\\ x_1+4x_2+a^2{x}_3=0\end{array}$与方程②$x_1+2x_2+x_3=a-1$有公共解，求$a$的值及所有公共解。

设在上半平面$D=\{(x,y)\mid y>0\}$内，函数$f(x,y)$有连续偏导数，且对任意$t>0$都有$f(tx,ty)=t^{-2}f(x,y)$。证明：对$D$内的任意分段光滑的有向简单闭曲线$L$，都有${\oint }_{L}yf(x,y)\mathrm{d}x-xf(x,y)\mathrm{d}y=0$。

证明：当$0<a<b<\pi$时，$b\sin b+2\cos b+\pi b>a\sin a+2\cos a+\pi a$。

随机变量$X$的概率密度为$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2},& -1<x<0,\\ \frac{1}{4},& 0\le x<2,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$，令$Y=X^2$，$F(x,y)$为二维随机变量$(X,Y)$的分布函数。求：