真题库

设$A=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$，$B=P^{-1}AP$，其中$P$为三阶可逆矩阵，则$B^{2004}-2A^2=$ 。

若$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{{\mathrm{e}}^x-a}(\cos x-b)=5$，则
$a=$ ，
$b=$ 。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}x{\mathrm{e}}^{x^2},& -\frac{1}{2}\le x<\frac{1}{2},\\ -1,& x\ge \frac{1}{2},\end{array}$，则${\int }_{\frac{1}{2}}^{2}f(x-1)\mathrm{d}x=$ 。

${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^2-1}}=$ 。

函数$f(u,v)$由关系式$f[xg(y),y]=x+g(y)$确定，其中函数$g(y)$可微，且$g(y)\ne 0$，则$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u\partial v}=$ 。

已知$f^{\prime }({\mathrm{e}}^x)=x{\mathrm{e}}^{-x}$，且$f(1)=0$，则$f(x)=$ 。

设$A=(a_{ij}{)}_{3\times 3}$是实正交矩阵，且$a_{11}=1$，$b=(1,0,0{)}^T$，则线性方程组$Ax=b$的解是 。

微分方程$(y+x^3)\mathrm{d}x-2x\mathrm{d}y=0$满足$y{|}_{x=1}=\frac{6}{5}$的特解为 。

设函数$y(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=t^3+3t+1\\ y=t^3-3t+1\end{array}$确定，则曲线$y=y(x)$向上凸的$x$取值范围为 。

设随机变量$X$服从参数为$\lambda$的指数分布，则$P\{X>\sqrt{DX}\}=$ 。

设$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(n-1)x}{n{x}^2+1}$，则$f(x)$的间断点为$x=$ 。

二次型$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2{)}^2+(x_2-x_3{)}^2+(x_3+x_1{)}^2$的秩为 。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，矩阵$B$满足$AB{A}^{\ast }=2B{A}^{\ast }+E$，其中$A^{\ast }$为$A$的伴随矩阵，$E$是单位矩阵，则$|B|=$ 。

设$n_1,n_2$为正整数，且$n_1+n_2>2$。设总体$X$服从正态分布$N({\mu }_1,{\sigma }^2)$，总体$Y$服从正态分布$N({\mu }_2,{\sigma }^2)$，$X_1,X_2,\cdots X_{n_1}$和$Y_1,Y_2,\cdots Y_{n_2}$分别是来自总体$X$和$Y$的简单随机样本，则$E[\frac{\sum _{i=1}^{n_1}(X_i-\overline{X}{)}^2+\sum _{j=1}^{n_2}(Y_j-\overline{Y}{)}^2}{n_1+n_2-2}]=$ 。

设$L$为正向圆周$x^2+y^2=2$在第一象限中的部分，则曲线积分${\int }_{L}x\mathrm{d}y-2y\mathrm{d}x$的值为 。

设函数$z=z(x,y)$由方程$z={\mathrm{e}}^{2x-3z}+2y$确定，则$3\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=$ 。

曲线$y=\ln x$上与直线$x+y=1$垂直的切线方程为 。

设$n$维向量$\alpha =(a,0,\cdots ,0,a{)}^T,a<0$，$A=E-\alpha {\alpha }^T$，$B=E+\frac{1}{a}\alpha {\alpha }^T$，且$A^{-1}=B$，则$a=$ 。

若$x\to 0$时，$(1-a{x}^2{)}^{\frac{1}{4}}-1$与$x\sin x$是等价无穷小，则$a=$ 。

设函数$y=f(x)$由方程$xy+2\ln x=y^4$所确定，则曲线$y=f(x)$在点$(1,1)$处的切线方程是 。