真题库

设$f(x,y)=\frac{y}{1+xy}-\frac{1-y\sin (\pi \frac{x}{y})}{\arctan x}$，$x>0,y>0$，求：

设$3$阶实对称矩阵$A$的各行元素之和均为$3$，向量${\alpha }_1=(-1,2,-1{)}^T,{\alpha }_2=(0,-1,1{)}^T$是线性方程组$Ax=0$的两个解。

设区域$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1,x\ge 0\}$，计算二重积分$I={\iint }_D\frac{1+xy}{1+x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

已知曲线$L$的方程$\{\begin{array}{l}x=t^2+1,\\ y=4t-t^2,\end{array}quadt\ge 0$。

设数列$\{x_n\}$满足$0<x_1<\pi ,x_{n+1}=\sin x_n(n=1,2,\dots )$。

在$xOy$坐标平面上，连续曲线$L$过点$M(1,0)$，其上任意点$P(x,y)(x\ne 0)$处的切线斜率与直线$OP$的斜率之差等于$ax$（常数$a>0$）。

计算二重积分${\iint }_D\sqrt{y^2-xy}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D$是由直线$y=x,y=1,x=0$所围成的平面区域。

设$4$维向量组${\alpha }_1=(1+a,1,1,1{)}^T,{\alpha }_2=(2,2+a,2,2{)}^T,{\alpha }_3=(3,3,3+a,3{)}^T,{\alpha }_4=(4,4,4,4+a{)}^T$。

求幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^{2n+1}}{n(2n-1)}$的收敛域及和函数$S(x)$。

试确定常数$A,B,C$的值，使得${\mathrm{e}}^x(1+Bx+C{x}^2)=1+Ax+o(x^3)$，其中$o(x^3)$是当$x\to 0$时比$x^3$高阶的无穷小。

设二维随机变量$(X,Y)$的概率分布见下表，其中$a,b,c$为常数，且$EX=-0.2$，$P\{Y\le 0\mid X\le 0\}=0.5$。记$Z=X+Y$，求：

求$\int \frac{\arcsin {\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x}\mathrm{d}x$。

设函数$f(u)$在$(0,+\infty )$内具有二阶导数，且$z=f(\sqrt{x^2+y^2})$满足等式$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=0$。

随机变量$X$的概率密度为$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2},& -1<x<0,\\ \frac{1}{4},& 0\le x<2,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$，令$Y=X^2$，$F(x,y)$为二维随机变量$(X,Y)$的分布函数。求：

设总体$X$的概率密度为$f(x,\theta )=\{\begin{array}{ll}\theta ,& 0<x<1,\\ 1-\theta ,& 1\le x<2,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$其中$\theta$是未知参数$(0<\theta <1)$，$X_1,X_2,\dots ,X_n$为来自总体$X$的简单随机样本，记$N$为样本值$x_1,x_2,\dots ,x_n$中小于$1$的个数，求：

设$3$阶实对称矩阵$A$的各行元素之和均为$3$，向量${\alpha }_1=(-1,2,-1{)}^T,alph{a}_2=(0,-1,1{)}^T$是线性方程组$Ax=0$的两个解。

将函数$f(x)=\frac{x}{2+x-x^2}$展开成$x$的幂级数。

设总体$X$的概率密度为$f(x,\theta )=\{\begin{array}{ll}\theta ,& 0<x<1,\\ 1-\theta ,& 1\le x<2,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$其中$\theta$是未知参数$(0<\theta <1)$，$X_1,X_2,\dots ,X_n$为来自总体$X$的简单随机样本，记$N$为样本值$x_1,x_2,\dots ,x_n$中小于$1$的个数，求$\theta$的最大似然估计。

已知非齐次线性方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+x_4=-1,\\ 4x_1+3x_2+5x_3-x_4=-1,\\ a{x}_1+x_2+3x_3+b{x}_4=1\end{array}$有$3$个线性无关的解。

求$f(x,y)=x^2-y^2+2$在椭圆域$D=\{(x,y)\mid x^2+\frac{y^2}{4}\le 1\}$上的最大值和最小值。