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求幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}(1+\frac{1}{n(2n-1)})x^{2n}$的收敛区间与和函数$f(x)$。

如图，曲线$C$的方程为$y=f(x)$，点$(3,2)$是它的一个拐点，直线$l_1,l_2$分别是曲线$C$在点$(0,0)$与$(3,2)$处的切线，其交点为$(2,4)$。设函数$f(x)$具有三阶连续导数，计算定积分${\int }_0^3(x^2+x)f^{\prime \prime \prime }(x),\mathrm{d}x$。

已知函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=0,f(1)=1$。证明：

设函数$\varphi (y)$具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线$L$上，曲线积分${\oint }_L\frac{\varphi (y)\mathrm{d}x+2xy\mathrm{d}y}{2x^2+y^4}$的值恒为同一常数。

已知二次型$f(x_1,x_2,x_3)=(1-a)x_1^2+(1-a)x_2^2+2x_3^2+2(1+a)x_1{x}_2$的秩为$2$。

已知$3$阶矩阵$A$的第一行是$(a,b,c)$，$a,b,c$不全为零，矩阵$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 3& 6& k\end{array}\right)$（$k$为常数），且$AB=0$，求线性方程组$Ax=0$的通解。

设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x<1,0<y<2x,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$求：

设$X_1,X_2,\dots ,X_n(n>2)$为来自总体$N(0,1)$的简单随机样本，$\overline{X}$为样本均值，记$Y_i=X_i-\overline{X}(i=1,2,\dots ,n)$。求：

设函数$f(x)$连续，且$f(0)\ne 0$，求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^x(x-t)f(t)\mathrm{d}t}{x{\int }_0^{x}f(x-t)\mathrm{d}t}$。

如图，$C_1,C_2$分别是$y=\frac{1}{2}(1+{\mathrm{e}}^x)$和$y={\mathrm{e}}^x$的图象，过点$(0,1)$的曲线$C_3$在第一象限内是一连续严格单调增函数的图象，其反函数$x=\varphi (y)$在$[1,+\infty )$上连续且严格递增，并满足$\varphi (1)=0$以及$0<\varphi (y)<\ln y$（$y>1$）。过$C_2$上横坐标大于零的任一点$M(x,y)$分别作垂直于$x$轴和$y$轴的直线$l_x,l_y$。记$C_1,C_2,l_x$所围图形的面积为$S_1(x)$；$C_2,C_3,l_y$所围图形的面积为$S_2(y)$。如果总有$S_1(x)=S_2(y)$，求曲线$C_3$的方程$x=\varphi (y)$。

用变量代换$x=\cos t(0<t<\pi )$化简微分方程$(1-x^2)y^{\prime \prime }-x{y}^{\prime }+y=0$，并求其满足$y{|}_{x=0}=1,y^{\prime }{|}_{x=0}=2$的特解。

已知函数$z=f(x,y)$的全微分$\mathrm{d}z=2x\mathrm{d}x-2y\mathrm{d}y$，并且$f(1,1)=2$。求$f(x,y)$在椭圆域$D=\{(x,y)\mid x^2+\frac{y^2}{4}\le 1\}$上的最大值和最小值。

计算二重积分${\iint }_D|x^2+y^2-1|,\mathrm{d}\sigma$，其中$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$。

确定常数$a$，使向量组${\alpha }_1=(1,1,a{)}^T,{\alpha }_2=(1,a,1{)}^T,{\alpha }_3=(a,1,1{)}^T$可由向量组${\beta }_1=(1,1,a{)}^T,{\beta }_2=(-2,a,4{)}^T,{\beta }_3=(-2,a,a{)}^T$线性表示，但向量组${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$不能由向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性表示。

求$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1+x}{1-{\mathrm{e}}^{-x}}-\frac{1}{x})$。

设$f(u)$具有二阶连续导数，且$g(x,y)=f(\frac{y}{x})+yf(\frac{x}{y})$，求$x^2\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x^2}-y^2\frac{{\partial }^{2}g}{\partial y^2}$。

求$f(x,y)=x^2-y^2+2$在椭圆域$D=\{(x,y)\mid x^2+\frac{y^2}{4}\le 1\}$上的最大值和最小值。

求幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }(\frac{1}{2n+1}-1)x^{2n}$在区间$(-1,1)$内的和函数$S(x)$。

设$f(x),g(x)$在$[0,1]$上的导数连续，且$f(0)=0,f^{\prime }(x)\ge 0,g^{\prime }(x)\ge 0$。证明：对任何$a\in [0,1]$，有${\int }_0^{a}g(x)f^{\prime }(x)\mathrm{d}x+{\int }_0^{1}f(x)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x\ge f(a)g(1)$。

已知齐次线性方程组$(\mathrm{I})\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+3x_3=0,\\ 2x_1+3x_2+5x_3=0,\\ x_1+x_2+a{x}_3=0\end{array}$和$(\mathrm{II})\{\begin{array}{l}{x}_1+b{x}_2+c{x}_3=0,\\ 2x_1+b^2{x}_2+(c+1)x_3=0\end{array}$同解，求$a,b,c$的值。