真题库

计算${\int }_0^1\frac{1}{(x+1)(x^2-2x+2)}\mathrm{d}x$。

设$f(x)$在$x=0$处连续，且$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{xf(x)-{\mathrm{e}}^{2\sin x}+1}{\ln (1+x)+\ln (1-x)}=-3$。证明$f(x)$在$x=0$处可导，并求$f^{\prime }(0)$。

已知函数$f(u)$在$(0,+\infty )$内具有二阶导数，记$g(x,y)=f(\frac{x}{y})$。若$x^2{g}_{xx}+xy{g}_{xy}+y^2{g}_{yy}=1,g(x,x)=1,g_x{|}_{(x,x)}=\frac{2}{x}$，求$f(u)$。

设函数$f(x,y)$可微，且$\mathrm{d}f=-2x{\mathrm{e}}^{-y}\mathrm{d}x+{\mathrm{e}}^{-y}(x^2-y-1)\mathrm{d}y,f(0,0)=2$。求$f(x,y)$，并求其极值。

设函数$z=z(x,y)$由方程$z+{\mathrm{e}}^x-y\ln (1+z^2)=0$确定，求$(z_{xx}+z_{yy}){|}_{(0,0)}$。

设总体$X$服从$[0,\theta ]$上的均匀分布，其中$\theta >0$未知。$X_1,\dots ,X_n$是来自总体$X$的简单随机样本，记$X_{(n)}=\max \{X_1,\dots ,X_n\},T_c=c{X}_{(n)}$。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 0& -1\\ 1& 1& 0& 3\\ 2& 1& 2& 6\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 2\\ 1& -1& a& a-1\\ 2& -3& 2& -2\end{array}\right)$，且$\mathbf{\alpha }=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\end{array}\right),\mathbf{\beta }=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$。

设平面有界区域$D$位于第一象限，由曲线$xy=\frac{1}{3},xy=3$与直线$y=\frac{1}{3}x,y=3x$围成，计算${\iint }_D(1+x-y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

已知数列$\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}$满足$x_0=-1,y_0=0,z_0=2$，且$\{\begin{array}{l}{x}_n=-2x_{n-1}+2z_{n-1}\\ y_n=-2y_{n-1}-2z_{n-1}\\ z_n=-6x_{n-1}-3y_{n-1}+3z_{n-1}\end{array}$。记${\mathbf{\alpha }}_n=\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\\ z_n\end{array}\right)$，写出满足${\mathbf{\alpha }}_n=A{\mathbf{\alpha }}_{n-1}$的矩阵$A$，并求$A^n$及$x_n,y_n,z_n(n=1,2,\dots )$。

设函数$f(x)$具有二阶导数，且$f^{\prime }(0)=f^{\prime }(1),|f^{\prime \prime }(x)|\le 1$。

已知函数$f(x,y)=x^3+y^3-(x+y{)}^2+3$。设$T$是曲面$z=f(x,y)$在点$(1,1,1)$处的切平面，$D$为$T$与坐标平面所围成的有界区域在$xOy$平面上的投影。

设$t>0$，曲线$y=\sqrt{x}{\mathrm{e}}^{-x}$与直线$x=t,x=2t$及$x$轴所围图形绕$x$轴旋转所得旋转体体积为$V(t)$，求$V(t)$的最大值。

设$y=y(x)$满足方程$x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }-9y=0$，且$y{|}_{x=1}=2,y^{\prime }{|}_{x=1}=6$。

设$t>0$，平面区域$D$由曲线$y=x{\mathrm{e}}^{-2x}$、直线$x=t,x=2t$及$x$轴围成，其面积为$S(t)$，求$S(t)$的最大值。

已知有向曲线$L$为球面$x^2+y^2+z^2=2x$与平面$2x-z-1=0$的交线，从$z$轴正向往负向看去为逆时针方向，计算${\oint }_L(6xyz-y{z}^2)\mathrm{d}x+2x^{2}z\mathrm{d}y+xyz\mathrm{d}z$。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& a\\ 1& 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\\ b& 2\end{array}\right)$，二次型$f(x_1,x_2,x_3)={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}BA\mathbf{x}$。已知方程组$A\mathbf{x}=0$的解是$B^{\mathrm{T}}\mathbf{x}=0$的解，但两个方程组不同解。

设$f(u,v)$具有二阶连续偏导，$g(x,y)=f(2x+y,3x-y)$，且$g_{xx}+g_{xy}-6g_{yy}=1$。

设总体$X$服从$[0,\theta ]$上的均匀分布，其中$\theta >0$未知。$X_1,\dots ,X_n$是来自总体$X$的简单随机样本，记$X_{(n)}=\max \{X_1,\dots ,X_n\},T_c=c{X}_{(n)}$。

已知平面区域$D=\{(x,y)|\sqrt{1-y^2}\le x\le 1,-1\le y\le 1\}$，计算${\iint }_D\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

已知平面区域$D=\{(x,y)|(x-1{)}^2+y^2\le 1\}$，计算二重积分${\iint }_D|\sqrt{x^2+y^2}-1|\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。