真题库

计算${\int }_{\mathrm{e}}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x{\ln }^{2}x}=$ 。

位于曲线$y=x{\mathrm{e}}^{-x}(0\le x<+\infty )$下方、$x$轴上方的无界图形的面积是 。

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}[\sqrt{1+\cos \frac{\pi }{n}}+\sqrt{1+\cos \frac{2\pi }{n}}+\cdots +\sqrt{1+\cos \frac{n\pi }{n}}]=$ 。

设常数$a\ne \frac{1}{2}$，则$\underset{n\to \infty }{\lim }\ln ([\frac{n-2na+1}{n(1-2a)}{]}^n)=$ 。

设随机变量$X$服从正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$（$\sigma >0$），且二次方程$y^2+4y+X=0$无实根的概率为$\frac{1}{2}$，则$\mu =$ 。

设随机变量$X$和$Y$的联合概率分布见下表，则$X^2$和$Y^2$的协方差$\mathrm{Cov}(X^2,Y^2)=$ 。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 3\end{array}\right)$，$B=A^2-3A+2E$，则$B^{-1}=$ 。

设随机变量$X$和$Y$的联合概率分布见下表，则$X$和$Y$的相关系数$\rho =$ 。

微分方程$y{y}^{\prime \prime }+(y^{\prime }{)}^2=0$满足初始条件$y(0)=1$，$y^{\prime }(0)=\frac{1}{2}$的特解是 。

交换积分次序：${\int }_0^{\frac{1}{4}}\mathrm{d}y{\int }_y^{\sqrt{y}}f(x,y)\mathrm{d}x+{\int }_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}y{\int }_y^{\frac{1}{2}}f(x,y)\mathrm{d}x=$ 。

已知实二次型$f(x_1,x_2,x_3)=a(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+4x_1{x}_2+4x_1{x}_3+4x_2{x}_3$经正交变换$x=Py$可化成标准型$f=6y_1^2$，则$a=$ 。

已知$f(x)$的一个原函数为${\ln }^{2}x$，则$\int x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=$ 。

设总体$X$的概率密度为$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-(x-\theta )},& \text{若}x\ge \theta ,\\ 0,& \text{若}x<\theta .\end{array}$而$X_1,X_2,\cdots ,X_n$是来自总体$X$的简单随机样本，则未知参数$\theta$的矩估计量为 。

矩阵$\left(\begin{array}{ccc}0& -2& -2\\ 2& 2& -2\\ -2& -2& 2\end{array}\right)$的非零特征值是 。

设向量组${\alpha }_1=(a,0,c),{\alpha }_2=(b,c,0),{\alpha }_3=(0,a,b)$线性无关，则$a,b,c$必满足关系式 。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1-{\mathrm{e}}^{\tan x}}{\arcsin \frac{x}{2}},& x>0\\ a{\mathrm{e}}^{2x},& x\le 0\end{array}$在$x=0$处连续，则$a=$ 。

设三阶矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 2& 1& 2\\ 3& 0& 4\end{array}\right)$，三维列向量$\alpha =(a,1,1{)}^T$。已知$A\alpha$与$\alpha$线性相关，则$a=$ 。

设$z={\mathrm{e}}^{-x}-f(x-2y)$，且当$y=0$时，$z=x^2$，则$\frac{\partial z}{\partial x}=$ 。

设总体$X$服从正态分布$N(0,0.2^2)$，而$X_1,X_2,\dots ,X_{15}$是来自总体$X$的简单随机样本，则随机变量$Y=\frac{X_1^2+\cdots +X_{10}^2}{2(X_{11}^2+\cdots +X_{15}^2)}$服从何种分布，并给出其参数。
分布名称为 。
参数为 。

交换二次积分的积分次序：${\int }_{-1}^0\mathrm{d}y{\int }_2^{1-y}f(x,y)\mathrm{d}x=$ 。