真题库

设$A$为三阶矩阵，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$是线性无关的三维列向量，且满足$A{\alpha }_1={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3,A{\alpha }_2=2{\alpha }_2+{\alpha }_3,A{\alpha }_3=2{\alpha }_2+3{\alpha }_3$。

设$D=\left(\begin{array}{cc}A& C\\ C^T& B\end{array}\right)$为正定矩阵，其中$A,B$分别为$m$阶、$n$阶对称矩阵，$C$为$m\times n$矩阵。

设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x<1,0<y<2x,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$，求：

设$X_1,X_2,\dots ,X_n(n>2)$为来自总体$N(0,{\sigma }^2)$的简单随机样本，其样本均值为$\overline{X}$，记$Y_i=X_i-\overline{X}(i=1,2,\dots ,n)$。求：

设$X_1,X_2,\dots ,X_n(n>2)$为来自总体$N(0,{\sigma }^2)$的简单随机样本，其样本均值为$\overline{X}$，记$Y_i=X_i-\overline{X}(i=1,2,\dots ,n)$。求：

设$\mathrm{e}<a<b<{\mathrm{e}}^2$，证明${\ln }^{2}b-{\ln }^{2}a>\frac{4}{{\mathrm{e}}^2}(b-a)$。

某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量为$9000\mathrm{kg}$的飞机，着陆时的水平速度为$700\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为$k=6.0\times 10^6$）。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？（注：kg表示千克，km/h表示千米/小时。）

计算曲面积分$I={\iint }_{\Sigma }2x^3\mathrm{d}y\mathrm{d}z+2y^3\mathrm{d}z\mathrm{d}x+3(z^2-1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$其中$\Sigma$是曲面$z=1-x^2-y^2(z\ge 0)$的上侧。

设有方程$x^n+nx-1=0$，其中$n$为正整数。证明此方程存在惟一正实根$x_n$，并证明当$\alpha >1$时，级数$\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n^{\alpha }$收敛。

设$z=z(x,y)$是由$x^2-6xy+10y^2-2yz-z^2+18=0$确定的函数，求$z=z(x,y)$的极值点和极值。

设有齐次线性方程组$\{\begin{array}{l}(1+a)x_1+x_2+\cdots +x_n=0,\\ 2x_1+(2+a)x_2+\cdots +2x_n=0,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ n{x}_1+n{x}_2+\cdots +(n+a)x_n=0,\end{array}(n\ge 2).$试问$a$取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ -1& 4& -3\\ 1& a& 5\end{array}\right)$的特征方程有一个二重根，求$a$的值，并讨论$A$是否可相似对角化。

设$A$，$B$为随机事件，且$P(A)=\frac{1}{4}$，$P(B|A)=\frac{1}{3}$，$P(A|B)=\frac{1}{2}$。令$X=\{\begin{array}{ll}1,& A\text{发生},\\ 0,& A\text{不发生};\end{array}Y=\{\begin{array}{ll}1,& B\text{发生},\\ 0,& B\text{不发生}.\end{array}$求：

设总体$X$的分布函数为$F(x,\beta )=\{\begin{array}{ll}1-\frac{1}{x^{\beta }},& x>1,\\ 0,& x\le 1,\end{array}$其中未知参数$\beta >1$，$X_1,X_2,\cdots ,X_n$为来自总体$X$的简单随机样本，求：

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^3}[(\frac{2+\cos x}{3}{)}^x-1]$。

设函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$上有定义，在区间$[0,2]$上，$f(x)=x(x^2-4)$，若对任意的$x$都满足$f(x)=kf(x+2)$，其中$k$为常数。

设$f(x)={\int }_x^{x+\frac{\pi }{2}}|\sin t|\mathrm{d}t$。

曲线$y=\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$与直线$x=0$，$x=t$（$t>0$）及$y=0$围成一曲边梯形。该曲边梯形绕$x$轴旋转一周得一旋转体，其体积为$V(t)$，侧面积为$S(t)$，在$x=t$处的底面积为$F(t)$。

设$z=f(x^2-y^2,{\mathrm{e}}^{xy})$，其中$f$具有连续二阶偏导数，求$\frac{\partial z}{\partial x}$，$\frac{\partial z}{\partial y}$，$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$。

设有齐次线性方程组$\{\begin{array}{l}(1+a)x_1+x_2+x_3+x_4=0,\\ 2x_1+(2+a)x_2+2x_3+2x_4=0,\\ 3x_1+3x_2+(3+a)x_3+3x_4=0,\\ 4x_1+4x_2+4x_3+(4+a)x_4=0.\end{array}$试问$a$取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。