真题库

求$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1}{{\sin }^{2}x}-\frac{{\cos }^{2}x}{x^2})$。

求${\iint }_D(\sqrt{x^2+y^2}+y)\mathrm{d}\sigma$，其中$D$是由圆$x^2+y^2=4$和$(x+1{)}^2+y^2=1$所围成的平面区域（如图所示）。

设$f(x)$，$g(x)$在$[a,b]$上连续，且满足${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t\ge {\int }_a^{x}g(t)\mathrm{d}t,x\in [a,b),{\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t={\int }_a^{b}g(t)\mathrm{d}t.$证明：${\int }_a^{b}xf(x)\mathrm{d}x\le {\int }_a^{b}xg(x)\mathrm{d}x$。

设$f(u,v)$具有连续偏导数，且满足$f_u^{\prime }(u,v)+f_v^{\prime }(u,v)=uv$。

设某商品的需求函数为$Q=100-5P$，其中价格$P\in (0,20)$，$Q$为需求量。

设级数$\frac{x^4}{2\cdot 4}+\frac{x^6}{2\cdot 4\cdot 6}+\frac{x^8}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}+\cdots (-\infty <x<+\infty )$的和函数为$S(x)$。求：

设$F(x)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{2x},& x\le 0,\\ {\mathrm{e}}^{-2x},& x>0,\end{array}$，$S$表示夹在$x$轴与曲线$y=F(x)$之间的面积。对任何$t>0$，$S_1(t)$表示矩形$-t\le x\le t,0\le y\le F(t)$的面积。求：

设线性方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+\lambda x_2+\mu x_3+x_4=0,\\ 2x_1+x_2+x_3+2x_4=0,\\ 3x_1+(2+\lambda )x_2+(4+\mu )x_3+4x_4=1.\end{array}$已知$(1,-1,1,-1{)}^T$是该方程组的一个解，试求：

设${\alpha }_1=(1,2,0{)}^T$，${\alpha }_2=(1,a+2,-3a{)}^T$，${\alpha }_3=(-1,-b-2,a+2b{)}^T$，$\beta =(1,3,-3{)}^T$，试讨论当$a,b$为何值时，

设三阶实对称矩阵$A$的秩为$2$，${\lambda }_1={\lambda }_2=6$是$A$的二重特征值。若${\alpha }_1=(1,1,0{)}^T$，${\alpha }_2=(2,1,1{)}^T$，${\alpha }_3=(-1,2,-3{)}^T$都是$A$的属于特征值$6$的特征向量。

设$n$阶矩阵$A=\left(\begin{array}{cccc}1& b& \cdots & b\\ b& 1& \cdots & b\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ b& b& \cdots & 1\end{array}\right)$。

设$A$，$B$为随机事件，且$P(A)=\frac{1}{4}$，$P(B|A)=\frac{1}{3}$，$P(A|B)=\frac{1}{2}$。令$X=\{\begin{array}{ll}1,& A\text{发生},\\ 0,& A\text{不发生};\end{array}Y=\{\begin{array}{ll}1,& B\text{发生},\\ 0,& B\text{不发生}.\end{array}$求：

设随机变量$X$的分布函数为$F(x;\alpha ,\beta )=\{\begin{array}{ll}1-(\frac{\alpha }{x}{)}^{\beta },& x>\alpha ,\\ 0,& x\le \alpha ,\end{array}$其中参数$\alpha >0,\beta >1$。设$X_1,X_2,\cdots ,X_n$为来自总体$X$的简单随机样本，

设随机变量$X$在区间$(0,1)$上服从均匀分布，在$X=x$（$0<x<1$）的条件下，随机变量$Y$在区间$(0,x)$上服从均匀分布，求：

过坐标原点作曲线$y=\ln x$的切线，该切线与曲线$y=\ln x$及$x$轴围成平面图形$D$

将函数$f(x)=\arctan \frac{1-2x}{1+2x}$展开成$x$的幂级数，并求级数$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}$的和。

已知平面区域$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le \pi ,0\le y\le \pi \}$，$L$为$D$的正向边界。试证：

某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层。汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功。设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为$k$，$k>0$）。汽锤第一次击打将桩打进地下$a$米。根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数$r(0<r<1)$。问

设函数$y=y(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内具有二阶导数，且$y^{\prime }\ne 0$，$x=x(y)$是$y=y(x)$的反函数。

设函数$f(x)$连续且恒大于零，$F(t)=\frac{{\iiint }_{\Omega (t)}f(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}V}{{\iint }_{D(t)}f(x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma }$，$G(t)=\frac{{\iint }_{D(t)}f(x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma }{{\int }_{-t}^{t}f(x^2)\mathrm{d}x}$，其中$\Omega (t)=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le t^2\}$，$D(t)=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le t^2\}$