真题库

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 2\\ 2& 3& 2\\ 2& 2& 3\end{array}\right)$，$P=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，$B=P^{-1}{A}^{\ast }P$，求$B+2E$的特征值与特征向量，其中$A^{\ast }$为$A$的伴随矩阵，$E$为$3$阶单位矩阵。

已知平面上三条不同直线的方程分别为$l_1:ax+2by+3c=0,l_2:bx+2cy+3a=0,l_3:cx+2ay+3b=0$。试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为$a+b+c=0$。

已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有$3$件合格品和$3$件次品，乙箱中仅装有$3$件合格品。从甲箱中任取$3$件产品放入乙箱后，求：

设总体$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}2{\mathrm{e}}^{-2(x-\theta )},& x>\theta ,\\ 0,& x\le \theta ,\end{array}$其中$\theta >0$是未知参数。从总体$X$中抽取简单随机样本$X_1,X_2,\cdots ,X_n$，记$\hat{\theta }=\min (X_1,X_2,\cdots ,X_n)$。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\ln (1+a{x}^3)}{x-\arcsin x},& x<0,\\ 6,& x=0,\\ \frac{{\mathrm{e}}^{ax}+x^2-ax-1}{x\sin \frac{x}{4}},& x>0.\end{array}$

设函数$y=y(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=1+2t^2,\\ y={\int }_1^{1+2\ln t}\frac{{\mathrm{e}}^u}{u}\mathrm{d}u\end{array}(t>1)$所确定，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}{|}_{x=9}$。

计算不定积分$\int \frac{x{\mathrm{e}}^{\arctan x}}{(1+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}x$。

讨论曲线$y=4\ln x+k$与$y=4x+{\ln }^{4}x$的交点个数。

设位于第一象限的曲线$y=f(x)$过点$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2})$，其上任一点$P(x,y)$处的法线与$y$轴交于$Q$，且线段$PQ$被$x$轴平分。

有一平底容器，其内侧壁由曲线$x=\varphi (y)(y\ge 0)$绕$y$轴旋转而成，底面圆半径为$2\mathrm{m}$。以$\frac{3{\mathrm{m}}^3}{\min }$速率注入液体时，液面面积以$\frac{\pi {\mathrm{m}}^2}{\min }$速率均匀扩大。

设函数$f(x)$在$[a,b]$连续，在$(a,b)$可导，且$f^{\prime }(x)>0$。若$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(2x-a)}{x-a}$存在，证明：

若矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ 8& 2& a\\ 0& 0& 6\end{array}\right)$相似于对角阵$\Lambda$，求：

设$f(x)=\frac{1}{\pi x}+\frac{1}{\sin \pi x}-\frac{1}{\pi (1-x)},x\in [\frac{1}{2},1)$，试补充定义$f(1)$使$f(x)$在$[\frac{1}{2},1]$上连续。

设$f(x)=\frac{1}{\sin \pi x}-\frac{1}{\pi x}-\frac{1}{\pi (1-x)}$，$x\in (0,\frac{1}{2}]$。试补充定义$f(0)$，使得$f(x)$在$[0,\frac{1}{2}]$上连续。

设$f(u,v)$具有二阶连续偏导数，且$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial v^2}=1$，又$g(x,y)=f[xy,\frac{1}{2}(x^2-y^2)]$，求$\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}g}{\partial y^2}$。

计算二重积分$I={\iint }_D{\mathrm{e}}^{-(x^2+y^2-\pi )}\sin (x^2+y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le \pi \}$。

求幂级数$1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{2n}(|x|<1)$的和函数$f(x)$及其极值。

设$a>1$，$f(t)=a^t-at$在$(-\infty ,+\infty )$内的驻点为$t(a)$。问$a$为何值时，$t(a)$最小？并求出最小值。

设$y=f(x)$是第一象限内连接点$A(0,1),B(1,0)$的一段连续曲线，$M(x,y)$为该曲线上任意一点，点$C$为$M$在$x$轴上的投影，$O$为坐标原点。若梯形$OCMA$的面积与曲边三角形$CBM$的面积之和为$\frac{x^3}{6}+\frac{1}{3}$，求$f(x)$的表达式。

设$F(x)=f(x)g(x)$，其中$f^{\prime }(x)=g(x),g^{\prime }(x)=f(x),f(0)=0$，且$f(x)+g(x)=2{\mathrm{e}}^x$。