真题库

设函数$f(x)$在$[0,3]$连续，在$(0,3)$可导，且$f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1$。证明存在$\xi \in (0,3)$，使$f^{\prime }(\xi )=0$。

设某商品从时刻$0$到时刻$t$的销售量为$x(t)=kt$，$t\in [0,T],k>0$。欲在$T$时将数量为$A$的该商品销售完，试求：

已知齐次线性方程组$\{\begin{array}{l}(a_1+b)x_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=0,\\ a_1{x}_1+(a_2+b)x_2+\cdots +a_n{x}_n=0,\\ \cdots ,\\ a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +(a_n+b)x_n=0,\end{array}$，其中$\sum _{i=1}^n{a}_i\ne 0$。讨论$a_1,\cdots ,a_n,b$满足何种关系时：

设有向量组①：${\alpha }_1=(1,0,2{)}^T,{\alpha }_2=(1,1,3{)}^T,{\alpha }_3=(1,-1,a+2{)}^T$和向量组②：${\beta }_1=(1,2,a+3{)}^T,{\beta }_2=(2,1,a+6{)}^T,{\beta }_3=(2,1,a+4{)}^T$。试问：

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right)$可逆，向量$\alpha =\left(\begin{array}{c}1\\ b\\ 1\end{array}\right)$是矩阵$A^{\ast }$的一个特征向量，$\lambda$是$\alpha$对应的特征值，其中$A^{\ast }$是矩阵$A$的伴随矩阵。试求$a,b,\lambda$的值。

设二次型$f(x_1,x_2,x_3)=X^{T}AX=a{x}_1^2+2x_2^2-2x_3^2+2b{x}_1{x}_3(b>0)$的矩阵$A$的特征值之和为$1$，特征值之积为$-12$。

设随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}},& x\in [1,8],\\ 0,& \text{其他},\end{array}$，$F(x)$是$X$的分布函数。求$Y=F(X)$的分布函数。

设随机变量$X$与$Y$独立，$Y$的概率密度为$f(y)$，$X$的概率分布见下表。求$U=X+Y$的概率密度$g(u)$。

对于任意二事件$A$和$B$，$0<P(A)<1,0<P(B)<1$，$\rho =\frac{P(AB)-P(A)P(B)}{\sqrt{P(A)P(B)P(\bar{A})P(\bar{B})}}$称做事件$A$和$B$的相关系数。

设函数$f(x)$在$x=0$的某邻域内具有一阶连续导数，且$f(0)\ne 0,f^{\prime }(0)\ne 0$。若$af(h)+bf(2h)-f(0)$在$h\to 0$时是比$h$高阶的无穷小，试确定$a,b$的值。

已知两曲线$y=f(x)$与$y={\int }_0^{\arctan x}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t$在点$(0,0)$处的切线相同，写出此切线方程，并求极限$\underset{n\to \infty }{\lim }nf(\frac{2}{n})$。

计算二重积分${\iint }_D{\mathrm{e}}^{\max \{x^2,y^2\}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$。

设函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内具有一阶连续导数，$L$是上半平面$(y>0)$内起点为$(a,b)$、终点为$(c,d)$的有向分段光滑曲线。记$I={\int }_L\frac{1}{y}[1+y^{2}f(xy)]\mathrm{d}x+\frac{x}{y^2}[y^{2}f(xy)-1]\mathrm{d}y$。

设函数$y(x)=1+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^6}{6!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots +\frac{x^{3n}}{(3n)!}+\cdots (-\infty <x<+\infty )$。

设有一小山，取它的底面所在的平面为$xoy$坐标面，底面区域为$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2-xy\le 75\}$，高度函数为$h(x,y)=75-x^2-y^2+xy$。设$M(x_0,y_0)$为区域$D$上一点。

已知四阶方阵$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)$，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$均为四维列向量，其中${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$线性无关，${\alpha }_1=2{\alpha }_2-{\alpha }_3$。如果$\beta ={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3+{\alpha }_4$，求线性方程组$Ax=\beta$的通解。

设$A,B$为同阶方阵。

设随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}\cos \frac{x}{2},& 0\le x\le \pi ,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$。对$X$独立地重复观察$4$次，用$Y$表示观察值大于$\frac{\pi }{3}$的次数，求$Y^2$的数学期望。

设总体$X$的概率分布见下表，其中$0<\theta <\frac{1}{2}$为未知参数。给定样本值$3,1,3,0,3,1,2,3$，求$\theta$的估计值。

已知曲线的极坐标方程是$r=1-\cos \theta$，求该曲线上对应于$\theta =\frac{\pi }{6}$处的切线与法线的直角坐标方程。