真题库

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+\frac{3}{2}{x}^2,& -1\le x<0\\ \frac{x{\mathrm{e}}^x}{({\mathrm{e}}^x+1{)}^2},& 0\le x\le 1\end{array}$，求函数$F(x)={\int }_{-1}^{x}f(t)\mathrm{d}t$的表达式。

已知函数$f(x)$在$(0,+\infty )$内可导，$f(x)>0$，$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1$，且满足$\underset{h\to 0}{\lim }(\frac{f(x+hx)}{f(x)}{)}^{\frac{1}{h}}={\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}$，求$f(x)$。

求微分方程$x\mathrm{d}y+(x-2y)\mathrm{d}x=0$的一个解$y=y(x)$，使得由曲线$y=y(x)$与直线$x=1$、$x=2$以及$x$轴所围成的平面图形绕$x$轴旋转一周的旋转体体积最小。

某闸门的形状与大小如图所示，其中直线$l$为对称轴，闸门的上部为矩形$ABCD$，下部由二次抛物线与线段$AB$所围成。当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为$5:4$，闸门矩形部分的高$h$应为多少$mathrmm$？

设$0<x_1<3$，$x_{n+1}=\sqrt{x_n(3-x_n)}(n=1,2,\cdots )$，证明数列$\{x_n\}$的极限存在，并求此极限。

设$0<a<b$，证明不等式$\frac{2a}{a^2+b^2}<\frac{\ln b-\ln a}{b-a}<\frac{1}{\sqrt{ab}}$。

设函数$f(x)$在$x=0$的某邻域内具有二阶连续导数，且$f(0)\ne 0$，$f^{\prime }(0)\ne 0$，$f^{\prime \prime }(0)\ne 0$。证明：存在唯一的一组实数${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$，使得当$h\to 0$时，${\lambda }_{1}f(h)+{\lambda }_{2}f(2h)+{\lambda }_{3}f(3h)-f(0)$是比$h^2$高阶的无穷小。

已知$A,B$为$3$阶矩阵，且满足$2A^{-1}B=B-4E$，其中$E$是$3$阶单位矩阵。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^x[{\int }_0^{u^2}\arctan (1+t)\mathrm{d}t]\mathrm{d}u}{x(1-\cos x)}$。

设函数$u=f(x,y,z)$有连续偏导数，且$z=z(x,y)$由方程$x{\mathrm{e}}^x-y{\mathrm{e}}^y=z{\mathrm{e}}^z$所确定，求$\mathrm{d}u$。

设实函数$f$在$(0,1)$上定义，且对任意$0<t<\frac{\pi }{2}$，有$f({\sin }^{2}t)=\frac{t}{\sin t}$。求$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}f(x)\mathrm{d}x$，其中$0<x<1$。

设闭区域$D:x^2+y^2\le y,x\ge 0$；$f(x,y)$为$D$上的连续函数，且$f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}-\frac{\pi }{8}{\iint }_{D}f(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v$，求$f(x,y)$。

设$D_1$是由抛物线$y=2x^2$和直线$x=a$、$x=2$及$y=0$所围成的平面区域；$D_2$是由抛物线$y=2x^2$和直线$y=0$、$x=a$所围成的平面区域，其中$0<a<2$。

设某商品需求量$Q$是价格$p$的单调减少函数：$Q=Q(p)$，其需求弹性$\eta =\frac{2p^2}{192-p^2}>0$。

设函数$f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续，且$g(x)>0$。利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点$\xi \in [a,b]$，使${\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$。

设四元齐次线性方程组①为$\{\begin{array}{l}2x_1+3x_2-x_3=0,\\ x_1+2x_2+x_3-x_4=0,\end{array}$，且已知另一四元齐次线性方程组②的一个基础解系为${\alpha }_1=(2,-1,a+2,1{)}^T,{\alpha }_2=(-1,2,4,a+8{)}^T$。

设齐次线性方程组$\{\begin{array}{l}a{x}_1+b{x}_2+b{x}_3+\cdots +b{x}_n=0,\\ b{x}_1+a{x}_2+b{x}_3+\cdots +b{x}_n=0,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ b{x}_1+b{x}_2+b{x}_3+\cdots +a{x}_n=0,\end{array}$其中$a\ne 0,b\ne 0,n\ge 2$。讨论$a,b$为何值时方程组仅有零解、有无穷多组解；在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解。

设$A$为三阶实对称矩阵，且满足条件$A^2+2A=0$，已知$A$的秩$r(A)=2$。

设实对称矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& a& -1\\ 1& -1& a\end{array}\right)$。

假设随机变量$U$在区间$[-2,2]$上服从均匀分布，随机变量$X=\{\begin{array}{ll}-1,& \text{若}U\le -1,\\ 1,& \text{若}U>-1,\end{array}Y=\{\begin{array}{ll}-1,& \text{若}U\le 1,\\ 1,& \text{若}U>1.\end{array}$