真题库

若二次型$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1{x}_2+t{x}_2{x}_3$是正定的，则$t$的取值范围是 。

设随机变量$X$服从参数为$(2,p)$的二项分布，随机变量$Y$服从参数为$(3,p)$的二项分布。若$P\{X\ge 1\}=\frac{5}{9}$，则$P\{Y\ge 1\}=$ 。

袋中有$50$个乒乓球，其中$20$个是黄球，$30$个是白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 。

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3\sin x+x^2\cos \frac{1}{x}}{(1+\cos x)\ln (1+x)}=$ 。

设$y=f(\ln x){\mathrm{e}}^{f(x)}$，其中$f$可微，则$\mathrm{d}y=$ 。

若$f(x)=\frac{1}{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$，则${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=$ 。

函数$u=\ln (x+\sqrt{y^2+z^2})$在$A(1,0,1)$点处沿从$A$点指向$B(3,-2,2)$点方向的方向导数为 。

设$y=(x+{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}}{)}^{\frac{2}{3}}$，则$y^{\prime }{|}_{x=0}=$ 。

$\underset{x\to \infty }{\lim }x[\sin \ln (1+\frac{3}{x})-\sin \ln (1+\frac{1}{x})]=$ 。

${\int }_{-1}^1(x+\sqrt{1-x^2}{)}^2\mathrm{d}x=$ 。

设一平面经过原点及点$(6,-3,2)$，且与平面$4x-y+2z=8$垂直，则此平面方程为 。

一实习生用同一台机器接连独立地制造$3$个同种零件，第$i$个零件是不合格品的概率$P_i=\frac{1}{i+1}$（$i=1,2,3$）。以$X$表示$3$个零件中合格品的个数，则$P\{X=2\}=$ 。

设$y=\ln (x+\sqrt{1+x^2})$，则$y^{\prime \prime }{|}_{x=\sqrt{3}}=$ 。

设$\xi ,\eta$是两个相互独立且均服从正态分布$N(0,(\frac{1}{\sqrt{2}}{)}^2)$的随机变量，则随机变量$|\xi -\eta |$的数学期望$E(|\xi -\eta |)=$ 。

设工厂$A$和工厂$B$的产品的次品率分别为$1\%$和$2\%$，现从由$A$和$B$的产品分别占$60\%$和$40\%$的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属$A$生产的概率是 。

设方程$x=y^y$确定$y$是$x$的函数，则$\mathrm{d}y=$ 。

微分方程$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+2y={\mathrm{e}}^x$的通解为 。

设$A$是$4\times 3$矩阵，且$r(A)=2$，而$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 2& 0\\ -1& 0& 3\end{array}\right)$，则$r(AB)=$ 。

设$\int xf(x)\mathrm{d}x=\arcsin x+C$，则$\int \frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x=$ 。

设$(x_0,y_0)$是抛物线$y=a{x}^2+bx+c$上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是 。