真题库

设$A$、$B$是任意二事件，其中$A$的概率不等于$0$和$1$，证明：$P(B\mid A)=P(B\mid \bar{A})$是事件$A$与$B$独立的充分必要条件。

假设一设备开机后无故障工作的时间$X$服从指数分布，平均无故障工作的时间$E(X)$为$5$小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作$2$小时便关机。求该设备每次开机无故障工作的时间$Y$的分布函数$F(y)$。

求$\int \frac{\arctan {\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^{2x}}\mathrm{d}x$。

设函数$z=f(x,y)$在点$(1,1)$处可微，且$f(1,1)=1,\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(1,1)}=2,\frac{\partial f}{\partial y}{|}_{(1,1)}=3$，$\phi (x)=f(x,f(x,x))$。求$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\phi }^3(x){|}_{x=1}$。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1+x^2}{x}\arctan x,& x\ne 0,\\ 1,& x=0\end{array}$。

计算$I={\oint }_L(y^2-z^2)\mathrm{d}x+(2z^2-x^2)\mathrm{d}y+(3x^2-y^2)\mathrm{d}z$，其中$L$是平面$x+y+z=2$与柱面$|x|+|y|=1$的交线；从$z$轴正向看去，$L$为逆时针方向。

设$y=f(x)$在$(-1,1)$内具有二阶连续导数且$f^{\prime \prime }(x)\ne 0$。

设有一高度为$h(t)$（$t$为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程$z=h(t)-\frac{2(x^2+y^2)}{h(t)}$（长度单位为厘米，时间单位为小时）。已知体积减少的速率与侧面积成正比，比例系数为$0.9$，问高度为$130$厘米的雪堆全部融化需多少小时？

设${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$为线性方程组$Ax=0$的一个基础解系，${\beta }_1=t_1{\alpha }_1+t_2{\alpha }_2,{\beta }_2=t_1{\alpha }_2+t_2{\alpha }_3,\dots ,{\beta }_s=t_1{\alpha }_s+t_2{\alpha }_1$，其中$t_1,t_2$为实常数。试问$t_1,t_2$满足什么关系时，${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_s$也为$Ax=0$的一个基础解系？

已知$3$阶矩阵$A$与三维向量$x$，使得向量组$x,Ax,A^{2}x$线性无关，且满足$A^{3}x=3Ax-2A^{2}x$。记$P=(x,Ax,A^{2}x)$。

设某班车起点站上客人数$X$服从参数$\lambda (\lambda >0)$的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为$p(0<p<1)$，且途中下车与否相互独立，以$Y$表示在中途下车的人数。

设总体$X$服从正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)(\sigma >0)$，从该总体中抽取简单随机样本$X_1,X_2,\dots ,X_{2n}(n\ge 2)$，其样本均值为$\overline{X}=\frac{1}{2n}\sum _{i=1}^{2n}{X}_i$。求统计量$Y=\sum _{i=1}^n(X_i+X_{n+i}-2\overline{X}{)}^2$的数学期望$E(Y)$。

求$\int \frac{\mathrm{d}x}{(2x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$。

对于极限$\underset{t\to x}{\lim }(\frac{\sin t}{\sin x}{)}^{\frac{x}{\sin t-\sin x}}$，记其值为$f(x)$。

设$\rho =\rho (x)$是抛物线$y=\sqrt{x}$上任一点$M(x,y)(x\ge 1)$处的曲率半径，$s=s(x)$是该抛物线上介于点$A(1,1)$与$M$之间的弧长，计算$3\rho \frac{{\mathrm{d}}^2\rho }{\mathrm{d}{s}^2}-(\frac{\mathrm{d}\rho }{\mathrm{d}s}{)}^2$的值。在直角坐标系下，曲率公式为$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}$。

设函数$f(x)$在$[0,+\infty )$上可导，$f(0)=0$，且其反函数为$g(x)$。若${\int }_0^{f(x)}g(t)\mathrm{d}t=x^2{\mathrm{e}}^x$，求$f(x)$。

设函数$f(x),g(x)$满足$f^{\prime }(x)=g(x),g^{\prime }(x)=2{\mathrm{e}}^x-f(x)$，且$f(0)=0,g(0)=2$，求${\int }_0^{\pi }[\frac{g(x)}{1+x}-\frac{f(x)}{(1+x{)}^2}]\mathrm{d}x$。

设$L$是一条平面曲线，其上任意一点$P(x,y)(x>0)$到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在$y$轴上的截距，且$L$经过点$(\frac{1}{2},0)$。

一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积$S$成正比，比例常数$K>0$。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为$r_0$的雪堆在开始融化的$3$小时内融化了其体积的$\frac{7}{8}$，问雪堆全部融化需要多少小时？

设$f(x)$在区间$[-a,a](a>0)$上具有二阶连续导数，$f(0)=0$。