真题库

已知矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$，且矩阵$X$满足$AXA+BXB=AXB+BXA+E$，其中$E$是$3$阶单位矩阵，求$X$。

设${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$为线性方程组$AX=0$的一个基础解系，${\beta }_1={\alpha }_1+t{\alpha }_2,{\beta }_2={\alpha }_2+t{\alpha }_3,{\beta }_3={\alpha }_3+t{\alpha }_4,{\beta }_4={\alpha }_4+t{\alpha }_1$。试问实数$t$满足什么关系时，${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3,{\beta }_4$也为$AX=0$的一个基础解系？

设$u=f(x,y,z)$有连续的一阶偏导数，又函数$y=y(x)$及$z=z(x)$分别由下列两式确定：${\mathrm{e}}^{xy}-xy=2$和${\mathrm{e}}^x={\int }_0^{x-z}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t$，求$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$。

已知$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内可导，且$\underset{x\to \infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=\mathrm{e}$，$\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{x+c}{x-c}{)}^x=\underset{x\to \infty }{\lim }[f(x)-f(x-1)]$，求$c$的值。

求二重积分${\iint }_{D}y[1+x{\mathrm{e}}^{\frac{1}{2}(x^2+y^2)}]\mathrm{d}x\mathrm{d}y$的值，其中$D$是由直线$y=x$，$y=-1$及$x=1$围成的平面区域。

某商品进价为$a$元/件。根据以往经验，当销售价为$b$元/件时，销售量为$c$件（$a,b,c$均为正常数，且$b\ge \frac{4}{3}a$）。市场调查表明，销售价每下降$10\%$，销售量可增加$40\%$。现决定一次性降价。

已知抛物线$y=p{x}^2+qx(p<0,q>0)$在第一象限与直线$x+y=5$相切，且此抛物线与$x$轴所围成的平面图形的面积为$S$。

设$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且满足$f(1)=k{\int }_0^{\frac{1}{k}}x{\mathrm{e}}^{1-x}f(x)\mathrm{d}x(k>1)$。证明：存在$\xi \in (0,1)$，使得$f^{\prime }(\xi )=(1-{\xi }^{-1})f(\xi )$。

设$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且满足$f(1)=3{\int }_0^{\frac{1}{3}}{\mathrm{e}}^{1-x^2}f(x)\mathrm{d}x$。证明至少存在一点$\xi \in (0,1)$，使得$f^{\prime }(\xi )=2\xi f(\xi )$。

已知$f_n(x)$满足$f_n^{\prime }(x)=f_n(x)+x^{n-1}{\mathrm{e}}^x(n\text{ 为正整数})$且$f_n(1)=\frac{\mathrm{e}}{n}$，求函数项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n(x)$的和。

设函数$f(x)$在$(0,+\infty )$内连续，$f(1)=\frac{5}{2}$，且对所有$x,t\in (0,+\infty )$，满足条件${\int }_1^{xt}f(u)\mathrm{d}u=t{\int }_1^{x}f(u)\mathrm{d}u+x{\int }_1^{t}f(u)\mathrm{d}u$。求$f(x)$。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 1& a& 1\\ a& 1& 1\end{array}\right)$，$\beta =\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$。已知线性方程组$Ax=\beta$有解但不唯一。

设${\alpha }_i=(a_{i1},a_{i2},\dots ,a_{in}{)}^T(i=1,2,\dots ,r;r<n)$是$n$维实向量，且${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_r$线性无关。已知$\beta =(b_1,b_2,\dots ,b_n{)}^T$是线性方程组$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0,\\ \cdots \cdots \\ a_{r1}{x}_1+a_{r2}{x}_2+\cdots +a_{rn}{x}_n=0\end{array}$的非零解向量。试判断向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_r,\beta$的线性相关性。

设$A$为$n$阶实对称矩阵，$r(A)=n$，$A_{ij}$是$A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$中元素$a_{ij}$的代数余子式（$i,j=1,2,\dots ,n$），二次型$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{A_{ij}}{\det (A)}{x}_i{x}_j$。

生产线生产的产品成箱包装，各箱重量相互独立且同分布，假设每箱平均重$50$千克，标准差为$5$千克。若用最大载重量为$5$吨的汽车承运，试利用中心极限定理作正态近似，估计每辆车最多可以装多少箱，使近似计算的不超载概率大于$0.977$（$\Phi (2)\approx 0.977$，其中$\Phi (x)$是标准正态分布函数）。

设随机变量$X$和$Y$的联合分布在以点$(0,1),(1,0),(1,1)$为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量$U=X+Y$的方差。

设随机变量$X$和$Y$的联合分布是正方形$G=\{(x,y)\mid 1\le x\le 3,1\le y\le 3\}$上的均匀分布，试求随机变量$U=|X-Y|$的概率密度$p(u)$。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{2+{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}}{1+{\mathrm{e}}^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|})$。

设$z=f(xy,\frac{x}{y})+g(\frac{y}{x})$，其中$f$具有二阶连续偏导数，$g$具有二阶连续导数，求$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$。

计算曲线积分$I={\oint }_L\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{4x^2+y^2}$，其中$L$是以点$(1,0)$为中心、$R$为半径的圆周（$R>1$），取逆时针方向。