真题库

设对于半空间$x>0$内任意的光滑有向封闭曲面$S$，都有${\iint }_{S}xf(x)\mathrm{d}y\mathrm{d}z-xyf(x)\mathrm{d}z\mathrm{d}x-{\mathrm{e}}^{2x}z\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$，其中函数$f(x)$在$(0,+\infty )$内具有连续的一阶导数，且$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=1$，求$f(x)$。

对于幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{3^n+(-2{)}^n}\frac{x^n}{n}$，完成下列各问：

设有一半径为$R$的球体，$P_0$是此球表面上的一个定点。球体上任一点的密度与该点到$P_0$距离的平方成正比（比例常数$k>0$），求球体的重心位置。

设函数$f(x)$在$[0,\pi ]$上连续，且${\int }_0^{\pi }f(x)\mathrm{d}x=0$，${\int }_0^{\pi }f(x)\cos x\mathrm{d}x=0$。试证：在$(0,\pi )$内至少存在两个不同的点${\xi }_1,{\xi }_2$，使$f({\xi }_1)=f({\xi }_2)=0$。

设矩阵$A$的伴随矩阵$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0\\ 0& -3& 0& 8\end{array}\right)$，且$AB{A}^{-1}=B{A}^{-1}+3E$，其中$E$为$4$阶单位矩阵，求矩阵$B$。

某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将$\frac{1}{6}$熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐；新、老非熟练工经过培训及实践，至年终考核有$\frac{2}{5}$成为熟练工。设第$n$年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为$x_n,y_n$，记成向量$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)$。完成下列各问：

某流水生产线上每个产品不合格的概率为$p$（$0<p<1$），各产品合格与否相互独立。当出现一个不合格产品时即停机检修。设开机后第一次停机时已生产产品的个数为$X$。完成下列各问：

设某种元件的使用寿命$X$的概率密度为$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}2{\mathrm{e}}^{-2(x-\theta )},& x\ge \theta ,\\ 0,& x<\theta .\end{array}$，其中$\theta >0$为未知参数，又设$x_1,x_2,\dots ,x_n$是$X$的一组样本观测值，求参数$\theta$的最大似然估计值。

设$f(\ln x)=\frac{\ln (1+x)}{x}$，计算$\int f(x)\mathrm{d}x$。

设$xOy$平面上有正方形$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$及直线$l:x+y=t(t\ge 0)$。若$S(t)$表示正方形$D$位于直线$l$左下方部分的面积，试求${\int }_0^{x}S(t)\mathrm{d}t(x\ge 0)$。

求函数$f(x)=x^2\ln (1+x)$在$x=0$处的$n$阶导数$f^{(n)}(0)(n\ge 3)$。

设函数$S(x)={\int }_0^x|\cos t|\mathrm{d}t$。

某湖泊的水量为$V$，每年排入湖泊内含污染物$A$的污水量为$\frac{V}{6}$，流入湖泊内不含$A$的水量为$\frac{V}{6}$，流出湖泊的水量为$\frac{V}{3}$。已知$1999$年底湖中$A$的含量为$5m_0$，超过国家规定指标。为了治理污染，从$2000$年初起，限定排入湖泊中含$A$污水的浓度不超过$\frac{m_0}{V}$。问至多需要经过多少年，湖泊中污染物$A$的含量降至$m_0$以内？（注：设湖水中$A$的浓度是均匀的。）

已知$f(x)$是周期为$5$的连续函数，它在$x=0$的某个邻域内满足关系式$f(1+\sin x)-3f(1-\sin x)=8x+\alpha (x)$，其中$\alpha (x)$是当$x\to 0$时比$x$高阶的无穷小，且$f(x)$在$x=1$处可导，求曲线$y=f(x)$在点$(6,f(6))$处的切线方程。

设曲线$y=a{x}^2(a>0,x\ge 0)$与$y=1-x^2$交于点$A$，过坐标原点$O$和点$A$的直线与曲线$y=a{x}^2$围成一平面图形，该图形绕$x$轴旋转一周。

函数$f(x)$在$[0,+\infty )$上可导，$f(0)=1$且满足等式$f^{\prime }(x)+f(x)-\frac{1}{x+1}{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t=0$。

设$\alpha =\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$，$\beta =\left(\begin{array}{c}1\\ \frac{1}{2}\\ 0\end{array}\right)$，$\gamma =\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 8\end{array}\right)$，$A=\alpha {\beta }^T,B={\beta }^T\alpha$，其中${\beta }^T$是$\beta$的转置，求解方程$2B^2{A}^{2}x=A^{4}x+B^{4}x+\gamma$。

已知向量组${\beta }_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right),{\beta }_2=\left(\begin{array}{c}a\\ 2\\ 1\end{array}\right),{\beta }_3=\left(\begin{array}{c}b\\ 1\\ 0\end{array}\right)$与向量组${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -3\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 1\end{array}\right),{\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -7\end{array}\right)$具有相同的秩，且${\beta }_3$可由${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性表示，求$a,b$的值。

已知$z=u^v$，$u=\ln \sqrt{x^2+y^2}$，$v=\arctan \frac{y}{x}$，求$\mathrm{d}z$。

求微分方程$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }-{\mathrm{e}}^{2x}=0$满足条件$y(0)=0,y^{\prime }(0)=1$的解。