真题库

计算二重积分${\iint }_D\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{4a^2-x^2-y^2}}\mathrm{d}\sigma$，其中$D$是由曲线$y=-a+\sqrt{a^2-x^2}(a>0)$和直线$y=-x$围成的区域。

计算$I={\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{\mathrm{e}}^{1+x}+{\mathrm{e}}^{3-x}}$。

某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是$P_1=18-2Q_1,P_2=12-Q_2$，其中$P_1,P_2$分别表示两个市场的价格（单位：万元/吨），$Q_1,Q_2$分别表示两个市场的销售量（单位：吨）。企业的总成本函数为$C=2Q+5$，其中$Q=Q_1+Q_2$。

设函数$y=(x-1){\mathrm{e}}^{\frac{\pi }{2}+\arctan x}$。

设$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{x}^{2}y,& 1\le x\le 2,0\le y\le x,\\ 0,& \text{其他}\end{array}$，求${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\ge 2x\}$。

设$I_n={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\sin }^{n}x\cos x\mathrm{d}x,n=0,1,2,\dots$，求$\sum _{n=0}^{\infty }{I}_n$。

设向量组${\alpha }_1=(a,2,10{)}^T,{\alpha }_2=(-2,1,5{)}^T,{\alpha }_3=(-1,1,4{)}^T$，$\beta =(1,b,c{)}^T$。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ x& 4& y\\ -3& -3& 5\end{array}\right)$，已知$A$有三个线性无关的特征向量，$\lambda =2$是$A$的二重特征值。试求可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP$为对角形矩阵。

设有$n$元实二次型$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=(x_1+a_1{x}_2{)}^2+(x_2+a_2{x}_3{)}^2+\cdots +(x_{n-1}+a_{n-1}{x}_n{)}^2+(x_n+a_n{x}_1{)}^2$，其中$a_i(i=1,2,\dots ,n)$为实数。试问：当$a_1,a_2,\dots ,a_n$满足何种条件时，二次型$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$为正定二次型？

设二维随机变量$(X,Y)$的密度函数为$f(x,y)=\frac{1}{2}[{\varphi }_1(x,y)+{\varphi }_2(x,y)]$，其中${\varphi }_1(x,y)$和${\varphi }_2(x,y)$都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为$\frac{1}{3}$和$-\frac{1}{3}$，它们的边缘密度对应的随机变量的数学期望都是$0$，方差都是$1$。

假设$0.50,1.25,0.80,2.00$是来自总体$X$的简单随机样本值。已知$Y=\ln X$服从正态分布$N(\mu ,1)$，记$b=E(X)$。

设$A,B$是两个随机事件；随机变量$X=\{\begin{array}{ll}1,& \text{若 }A\text{ 出现},\\ -1,& \text{若 }A\text{ 不出现}\end{array}$，$Y=\{\begin{array}{ll}1,& \text{若 }B\text{ 出现},\\ -1,& \text{若 }B\text{ 不出现}\end{array}$。证明随机变量$X$和$Y$不相关的充分必要条件是$A$与$B$相互独立。

设$y=y(x),z=z(x)$是由方程$z=xf(x+y)$和$F(x,y,z)=0$所确定的函数，其中$f$和$F$分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}$。

求$I={\int }_L({\mathrm{e}}^x\sin y-b(x+y))\mathrm{d}x+({\mathrm{e}}^x\cos y-ax)\mathrm{d}y$，其中$a,b$为正常数，$L$为从点$A(2a,0)$沿曲线$y=\sqrt{2ax-x^2}$到点$O(0,0)$的弧。

设函数$y(x)$（$x\ge 0$）二阶可导，且$y^{\prime }(x)>0,y(0)=1$。过曲线$y=y(x)$上任一点$P(x,y)$作该曲线的切线及$x$轴的垂线，上述两直线与$x$轴所围三角形的面积记为$S_1$，区间$[0,x]$上以$y=y(x)$为曲边的曲边梯形面积记为$S_2$。若$2S_1-S_2$恒为$1$，求曲线$y=y(x)$的方程。

证明：当$x>0$时，$(x^2-1)\ln x\ge (x-1{)}^2$。

为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口（见图）。已知井深$30\mathrm{m}$，抓斗自重$400\mathrm{N}$，缆绳每米重$50\mathrm{N}$，抓斗抓起的污泥重$2000\mathrm{N}$，提升速度为$3\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$；提升过程中，污泥以$20\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{s}}$的速度从抓斗缝隙中漏掉。现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？说明：$1\mathrm{N}\times 1\mathrm{m}=1\mathrm{J}$；抓斗高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计。

设$S$为椭球面$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+z^2=1$的上半部分，点$P(x,y,z)\in S$，$\pi$为$S$在点$P$处的切平面，$\rho (x,y,z)$为点$O(0,0,0)$到平面$\pi$的距离，求${\iint }_S\frac{z}{\rho (x,y,z)}\mathrm{d}S$。

设$a_n={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\tan }^{n}x\mathrm{d}x$。完成下列各问：

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}a& -1& c\\ 5& b& 3\\ 1-c& 0& -a\end{array}\right)$，其行列式$|A|=-1$；又$A$的伴随矩阵$A^{\ast }$有一个特征值${\lambda }_0$，属于${\lambda }_0$的一个特征向量为$\alpha =(-1,-1,1{)}^T$。求$a,b,c,{\lambda }_0$的值。