真题库

设随机变量$X$服从$(0,2)$上的均匀分布，则随机变量$Y=X^2$在$(0,4)$内的概率密度$f_Y(y)=$ 。

设函数$f$在$[-1,1]$上连续，在$(-1,1)$内可导，且$f^{\prime }(x)=\arcsin x^2$。令$y=f(\frac{3x-2}{3x+2})$，则$y$在$x=0$处的右导数$y_{+}^{\prime }(0)=$ 。

设$n$阶矩阵$A$的各行元素之和均为零，且$A$的秩为$n-1$，则线性方程组$Ax=0$的通解为 。

${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x(x^2+1)}=$ 。

函数$u=\ln (x^2+y^2+z^2)$在点$M(1,2,-2)$处的梯度$\mathrm{grad}u{|}_M=$ 。

交换积分次序：${\int }_0^1\mathrm{d}y{\int }_{\sqrt{y}}^{\sqrt{2-y^2}}f(x,y)\mathrm{d}x=$ 。

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{{\mathrm{e}}^x-\cos x}=$ 。

设随机变量$X$服从参数为$1$的指数分布，则数学期望$E(X+{\mathrm{e}}^{-2X})=$ 。

矩阵$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right)$的非零特征值是 。

将 C、C、E、E、I、N、S 这七个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词 SCIENCE 的概率为 。

设$A$为$m$阶方阵，$B$为$n$阶方阵，且$|A|=a,|B|=b,C=\left(\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right)$，则$|C|=$ 。

设$f(x)=\sin x$，且$f[\varphi (x)]=1-x^2$。
$\varphi (x)=$ 。
$\varphi (x)$的定义域为 。

设$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1{b}_1& a_1{b}_2& \cdots & a_1{b}_n\\ a_2{b}_1& a_2{b}_2& \cdots & a_2{b}_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_n{b}_1& a_n{b}_2& \cdots & a_n{b}_n\end{array}\right)$，其中$a_i\ne 0,b_i\ne 0$（$i=1,2,\cdots ,n$），则矩阵$A$的秩$r(A)=$ 。

函数$y=x+2\cos x$在$[0,\frac{\pi }{2}]$上的最大值为 。

已知$P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}$，$P(AB)=0$，$P(AC)=P(BC)=\frac{1}{16}$，则事件$A,B,C$全不发生的概率为 。

级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(x-2{)}^{2n}}{n{4}^n}$的收敛域为 。

设$\{\begin{array}{l}x=f(t)-\pi \\ y=f({\mathrm{e}}^{3t}-1)\end{array}$，其中$f$可导，且$f^{\prime }(0)\ne 0$，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{|}_{t=0}=$ 。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1,& -\pi <x\le 0\\ 1+x^2,& 0<x\le \pi \end{array}$，则其以$2\pi$为周期的傅里叶级数在点$x=\pi$处收敛于 。

设对于事件$A,B,C$，有$P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}$，$P(AB)=P(BC)=0$，$P(AC)=\frac{1}{8}$，则$A,B,C$三个事件中至少出现一个的概率为 。

由曲线$y=x{\mathrm{e}}^x$与直线$y=\mathrm{e}x$所围成的图形的面积$S=$ 。