真题库

设$A$为$m$阶实对称正定矩阵，$B$为$m\times n$实矩阵，$B^T$为$B$的转置矩阵。证明：$B^{T}AB$为正定矩阵的充分必要条件是$r(B)=n$。

设随机变量$X,Y$相互独立。下表列出了二维随机变量$(X,Y)$的联合分布律及关于$X,Y$的边缘分布律中的部分数值，将其余数值填入表中的空白处。表中行变量为$X$，列变量为$Y$：

设总体$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{6x}{{\theta }^3}(\theta -x),& 0<x<\theta \\ 0,& \text{其他}\end{array}$，$X_1,X_2,\dots ,X_n$是取自总体$X$的简单随机样本。完成下列各问：

求$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x\ln (1+x)-x^2}$。

计算${\int }_1^{+\infty }\frac{\arctan x}{x^2}\mathrm{d}x$。

求初值问题$\{\begin{array}{l}(y+\sqrt{x^2+y^2})\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y=0,x>0,\\ y{|}_{x=1}=0\end{array}$的解。

已知函数$y=\frac{x^3}{(x-1{)}^2}$。

设函数$f(x)$在闭区间$[-1,1]$上具有三阶连续导数，且$f(-1)=0,f(1)=1,f^{\prime }(0)=0$。证明在开区间$(-1,1)$内至少存在一点$\xi$，使$f^{\prime \prime \prime }(\xi )=3$。

设$f(x)$是区间$[0,+\infty )$上单调减少且非负的连续函数，$a_n=\sum _{k=1}^{n}f(k)-{\int }_1^{n}f(x)\mathrm{d}x(n=1,2,\dots )$。证明数列$\{a_n\}$的极限存在。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -1& 1& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$，矩阵$X$满足$A^{\ast }X=A^{-1}+2X$，其中$A^{\ast }$是$A$的伴随矩阵，求矩阵$X$。

设向量组${\alpha }_1=(1,1,1,3{)}^T,{\alpha }_2=(-1,-3,5,1{)}^T,{\alpha }_3=(3,2,-1,p+2{)}^T,{\alpha }_4=(-2,-6,10,p{)}^T$。

曲线$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$的切线与$x$轴和$y$轴围成一个图形，记切点的横坐标为$a$。完成下列各问：

计算二重积分${\iint }_{D}y\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D$是由直线$x=-2,y=0,y=2$以及曲线$x=-\sqrt{2y-y^2}$所围成的平面区域。

设生产某种产品必须投入两种要素，$x_1,x_2$分别为两要素的投入量，$Q$为产出量。若生产函数为$Q=2x_1^{\alpha }{x}_2^{\beta }$，其中$\alpha ,\beta$为正常数，且$\alpha +\beta =1$。假设两种要素的价格分别为$p_1,p_2$，当产出量为$12$时，求使投入总费用最小的两要素投入量。

设有微分方程$y^{\prime }-2y=\phi (x)$，其中$\phi (x)=\{\begin{array}{ll}2,& x<1,\\ 0,& x>1.\end{array}$试求在$(-\infty ,+\infty )$内的连续函数$y=y(x)$，使之在$(-\infty ,1)$和$(1,+\infty )$内都满足所给方程，且满足条件$y(0)=0$。

设$F(x)$为$f(x)$的原函数，且当$x\ge 0$时，$f(x)F(x)=\frac{x{\mathrm{e}}^x}{2(1+x{)}^2}$。已知$F(0)=1$，$F(x)>0$，试求$f(x)$。

设函数$f(x)$连续，且${\int }_0^{x}tf(2x-t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\arctan x^2$。已知$f(1)=1$，求${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x$的值。

已知$f(x)$连续，${\int }_0^{x}tf(x-t)\mathrm{d}t=1-\cos x$，求${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x)\mathrm{d}x$的值。

设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=f(1)=0,f(\frac{1}{2})=1$。完成下列证明：

证明：当$0<x<\pi$时，有$\sin \frac{x}{2}>\frac{x}{\pi }$。