真题库

设$X\sim N(-1,1),Y\sim N(1,2)$。若$X$与$X+2Y$不相关，则$X$与$X-Y$的相关系数为（　　）。

二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3$的正惯性指数为（　　）。

设函数$f(x)$在区间$[0,+\infty )$上可导，则（　　）。

设$n$阶矩阵$A,B,C$满足$r(A)+r(B)+r(C)=r(ABC)+2n$。给出：① $r(ABC)+n=r(AB)+r(C)$；② $r(AB)+n=r(A)+r(B)$；③ $r(A)=r(B)=r(C)=n$；④ $r(AB)=r(BC)=n$。正确结论的序号是（　　）。

设函数$f(x,y)$连续，则${\int }_{-2}^2\mathrm{d}x{\int }_{4-x^2}^{4}f(x,y)\mathrm{d}y=$（　　）。

设$A$是$m\times n$矩阵，$\beta$是$m$维非零列向量。若$A$有$k$阶非零子式，则（　　）。

已知函数$f(x)={\int }_0^x{\mathrm{e}}^{t^2}\sin t\mathrm{d}t,g(x)={\int }_0^x{\mathrm{e}}^{t^2}\mathrm{d}t\cdot {\sin }^{2}x$，则（　　）。

设${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4$是$n$维列向量，${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$线性无关，${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$线性相关，且${\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_4=0$。在空间直角坐标系$O-xyz$中，方程组$x{\mathbf{\alpha }}_1+y{\mathbf{\alpha }}_2+z{\mathbf{\alpha }}_3={\mathbf{\alpha }}_4$的几何图形是（　　）。

已知函数$f(x)={\int }_0^x{\mathrm{e}}^{\cos t}\mathrm{d}t,g(x)={\int }_0^{\sin x}{\mathrm{e}}^{t^2}\mathrm{d}t$，则（　　）。

设$I={\int }_a^{a+k\pi }|\sin x|\mathrm{d}x$，其中$k$为整数，则$I$的值（　　）。

已知函数$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+x}{1+n{x}^{2n}}$，则$f(x)$在$x=-1,x=1$处的连续性为（　　）。

在空间直角坐标系$O-xyz$中，三个平面${\pi }_i:a_{i}x+b_{i}y+c_{i}z=d_i(i=1,2,3)$的位置关系如图所示。记${\mathbf{\alpha }}_i=(a_i,b_i,c_i),{\mathbf{\beta }}_i=(a_i,b_i,c_i,d_i)$，若$r\left(\begin{array}{c}{\mathbf{\alpha }}_1\\ {\mathbf{\alpha }}_2\\ {\mathbf{\alpha }}_3\end{array}\right)=m,r\left(\begin{array}{c}{\mathbf{\beta }}_1\\ {\mathbf{\beta }}_2\\ {\mathbf{\beta }}_3\end{array}\right)=n$，则（　　）。

设$f(x,y)$连续，则${\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}x{\int }_{\sin x}^{1}f(x,y)\mathrm{d}y=$（　　）。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}a+1& b& 3\\ a& \frac{b}{2}& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$，$M_{ij}$为划去第$i$行和第$j$列所剩的余子式，$|A|=-\frac{1}{2}$，且$-M_{21}+M_{22}-M_{23}=0$，则（　　）。

已知数列$\{a_n\}(a_n\ne 0)$发散，则（　　）。

设$A$是秩为 2 的 3 阶矩阵，$\mathbf{\alpha }$是满足$A\mathbf{\alpha }=0$的非零向量。若对满足${\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }=0$的任意 3 维列向量$\mathbf{\beta }$均有$A\mathbf{\beta }=\mathbf{\beta }$，则（　　）。

函数$f(x)=|x{|}^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}}$的第一类间断点个数为（　　）。

已知函数$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}(x^2+y^2)\sin \frac{1}{xy},& xy\ne 0\\ 0,& xy=0\end{array}$，则在点$(0,0)$处（　　）。

已知$\{\begin{array}{l}x=1+t^3\\ y={\mathrm{e}}^{t^2}\end{array}$确定函数$y=f(x)$，则$\underset{x\to +\infty }{\lim }x[f(2+\frac{2}{x})-f(2)]=$（　　）。

设非负函数$f(x)$在$[0,+\infty )$上连续。给出命题：① 若${\int }_0^{+\infty }{f}^2(x)\mathrm{d}x$收敛，则${\int }_0^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$收敛；② 若存在$p>1$使$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{p}f(x)$存在，则该反常积分收敛；③ 若该反常积分收敛，则存在$p>1$使上述极限存在。正确命题个数为（　　）。