真题库

微分方程$y^{\prime }=\frac{1}{(x+y{)}^2}$满足条件$y(1)=0$的解为 。

若$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+a{x}^2{)}^{\sin x}-1}{x^3}=6$，则$a=$ 。

已知函数$f(x)=x+1$，若$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx,x\in [0,\pi ]$，则$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2\sin a_{2n-1}=$ 。

设某产品价格函数为$p=\{\begin{array}{ll}25-0.25Q,& Q\le 20\\ 35-0.75Q,& Q>20\end{array}$，成本函数为$C=150+5Q+0.25Q^2$，则最大利润为 。

设函数$f(u,v)$具有二阶连续偏导数，且$\mathrm{d}f{|}_{(1,1)}=3\mathrm{d}u+4\mathrm{d}v$。令$y=f(\cos x,1+x^2)$，则$y^{\prime \prime }(0)=$ 。

设随机试验每次成功的概率为$p$，现进行 3 次独立重复试验。在至少成功 1 次的条件下，3 次试验全部成功的概率为$\frac{4}{13}$，则$p=$ 。

曲线$y={\int }_{-\sqrt{3}}^x\sqrt{3-t^2}\mathrm{d}t$的弧长为 。

曲面$z=x+2y+\ln (1+x^2+y^2)$在点$(0,0,0)$处的切平面方程为 。

已知函数$f(x,y)$满足$\mathrm{d}f(x,y)=\frac{x\mathrm{dy}-y\mathrm{dx}}{x^2+y^2}$，且$f(1,1)=\frac{\pi }{4}$，则$f(\sqrt{3},3)=$ 。

已知线性方程组$\{\begin{array}{l}a{x}_1+x_3=1\\ x_1+a{x}_2+x_3=0\\ x_1+2x_2+a{x}_3=0\\ a{x}_1+b{x}_2=2\end{array}$有解，其中$a,b$为常数。若$\left|\begin{array}{ccc}a& 0& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 2& a\end{array}\right|=4$，则$\left|\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ 1& 2& a\\ a& b& 0\end{array}\right|=$ 。

$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{(2n)!}=$ 。

设某公司在$t$时刻的资产为$f(t)$，从 0 时刻到$t$时刻的平均资产等于$\frac{f(t)}{t}-t$。假设$f(t)$连续且$f(0)=0$，则$f(t)=$ 。

当$x\to 0$时，函数$f(x)=ax+b{x}^2+\ln (1+x)$与$g(x)={\mathrm{e}}^{x^2}-\cos x$是等价无穷小，则$ab=$ 。

设$f(x)$为周期为 2 的周期函数，且$f(x)=1-x,x\in [0,1]$。若$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos n\pi x$，则$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{2n}=$ 。

曲线$3x^3=y^5+2y^3$在$x=1$对应点处的法线斜率为 。

设随机变量$X,Y$相互独立，且$X\sim B(1,\frac{1}{3}),Y\sim B(2,\frac{1}{2})$，则$P\{X=Y\}=$ 。

设函数$z=z(x,y)$由${\mathrm{e}}^z+xz=2x-y$确定，则$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}{|}_{(1,1)}=$ 。

设连续函数$f(x)$满足$f(x+2)-f(x)=x,{\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=0$，则${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=$ 。

$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^2(2-x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x})=$ 。

已知向量${\mathbf{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_2=\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 0\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\\ 1\end{array}\right),\mathbf{\beta }=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ -1\end{array}\right),\mathbf{\gamma }=k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+k_3{\mathbf{\alpha }}_3$。若${\mathbf{\gamma }}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\alpha }}_i={\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\alpha }}_i(i=1,2,3)$，则$k_1^2+k_2^2+k_3^2=$ 。