真题库

设平面有界区域$D$位于第一象限，由曲线$x^2+y^2-xy=1,x^2+y^2-xy=2$与直线$y=\sqrt{3}x,y=0$围成，计算${\iint }_D\frac{1}{3x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

已知平面区域$D=\{(x,y)|0\le y\le \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}},x\ge 1\}$。

设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{\pi }(x^2+y^2),& x^2+y^2\le 1\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$

设空间有界区域$\Omega$由柱面$x^2+y^2=1$与平面$z=0,x+z=1$围成，$\Sigma$为$\Omega$边界的外侧，计算曲面积分$I={\iint }_{\Sigma }2xz\mathrm{d}y\mathrm{d}z+xz\cos y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+3yz\sin x\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设矩阵$A$满足：对任意$x_1,x_2,x_3$，均有$A\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1+x_2+x_3\\ 2x_1-x_2+x_3\\ x_2-x_3\end{array}\right)$。

设曲线$y=y(x)(x>0)$经过点$(1,2)$，该曲线上任一点$P(x,y)$到$y$轴的距离等于该点处切线在$y$轴上的截距。

求函数$f(x,y)=x{\mathrm{e}}^{\cos y}+\frac{x^2}{2}$的极值。

设曲线$L:y=y(x)(x>\mathrm{e})$经过点$({\mathrm{e}}^2,0)$，且$L$上任一点$P(x,y)$到$y$轴的距离等于该点处切线在$y$轴上的截距。

已知可导函数$y=y(x)$满足$a{\mathrm{e}}^x+y^2+y-\ln (1+x)\cos y+b=0$，且$y(0)=0,y^{\prime }(0)=0$。

设随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x}{(1+{\mathrm{e}}^x{)}^2},-\infty <x<+\infty$，令$Y={\mathrm{e}}^X$。

设函数$f(x)$在$[-a,a]$上具有二阶连续导数。

已知二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1{x}_2-2x_1{x}_3$与$g(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+y_2^2+y_3^2+2y_2{y}_3$。

求函数$f(x,y)=(y-x^2)(y-x^3)$的极值。

已知函数$f(x)$在$x=1$处可导，且$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f({\mathrm{e}}^{x^2})-3f(1+{\sin }^{2}x)}{x^2}=2$，求$f^{\prime }(1)$。

已知平面区域$D=\{(x,y)\mid y-2\le x\le \sqrt{4-y^2},0\le y\le 2\}$，计算$I={\iint }_D\frac{(x-y{)}^2}{x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设函数$y(x)$是微分方程$2x{y}^{\prime }-4y=2\ln x-1$满足条件$y(1)=\frac{1}{4}$的解，求曲线$y=y(x)$在$[1,\mathrm{e}]$上的弧长。

设函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$上有二阶连续导数。证明：$f^{\prime \prime }(x)\ge 0$的充分必要条件是对任意不同的实数$a,b$，都有$f(\frac{a+b}{2})\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$成立。

求幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-4{)}^n+1}{4^n(2n+1)}{x}^{2n}$的收敛域及和函数$S(x)$。

设$X_1,\dots ,X_n$为来自均值为$\theta$的指数分布总体的简单随机样本，$Y_1,\dots ,Y_m$为来自均值为$2\theta$的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中$\theta >0$是未知参数。

设某产品的产量$Q$由资本投入量$x$和劳动投入量$y$决定，生产函数为$Q=12x^{\frac{1}{2}}{y}^{\frac{1}{6}}$，该产品的销售单价$P$与$Q$的关系为$P=1160-1.5Q$，若单位资本投入量和单位劳动投入量的价格分别为$6$和$8$，求利润最大时的产量。