真题库

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& -2\\ -k& -1& k\\ 4& 2& -3\end{array}\right)$。问：当$k$为何值时，存在可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP$为对角矩阵？并求出$P$和相应的对角矩阵。

已知线性方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=0,\\ a{x}_1+b{x}_2+c{x}_3=0,\\ a^2{x}_1+b^2{x}_2+c^2{x}_3=0.\end{array}$完成下列各问：

设$A$为$m\times n$实矩阵，$E$为$n$阶单位矩阵。已知矩阵$B=\lambda E+A^{T}A$，试证：当$\lambda >0$时，矩阵$B$为正定矩阵。

假设二维随机变量$(X,Y)$在矩形$G=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,0\le y\le 1\}$上服从均匀分布。记$U=\{\begin{array}{ll}0,& X\le Y,\\ 1,& X>Y;\end{array}V=\{\begin{array}{ll}0,& X\le 2Y,\\ 1,& X>2Y.\end{array}$

设二维随机变量$(X,Y)$在矩形$G=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,0\le y\le 1\}$上服从均匀分布，试求边长为$X$和$Y$的矩形面积$S$的概率密度$f(s)$。

设$X_1,X_2,\dots ,X_9$是来自正态总体$X$的简单随机样本，$Y_1=\frac{1}{6}(X_1+X_2+\cdots +X_6)$，$Y_2=\frac{1}{3}(X_7+X_8+X_9)$，$S^2=\frac{1}{2}\sum _{i=7}^9(X_i-Y_2{)}^2$，$Z=\frac{\sqrt{2}(Y_1-Y_2)}{S}$。证明统计量$Z$服从自由度为$2$的$t$分布。

已知随机变量$X_1$和$X_2$的概率分布如下表，且$P\{X_1{X}_2=0\}=1$。完成下列各问：

设直线$L:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$，平面$\Pi :x-y+2z-1=0$。完成下列各问：

在右半平面$x>0$上给定向量$A(x,y)=2xy(x^4+y^2{)}^{\lambda }i-x^2(x^4+y^2{)}^{\lambda }j$。完成下列各问：

从船上向海中沉放某种探测仪器。仪器的下沉深度为$y$（从海平面算起），下沉速度为$v$。设仪器在重力作用下从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用；仪器的质量为$m$，体积为$B$，海水比重为$\rho$，仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数为$k>0$。完成下列各问：

计算${\iint }_{\Sigma }\frac{ax\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(z+a{)}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x^2+y^2+z^2{)}^{\frac{1}{2}}}$，其中$\Sigma$为下半球面$z=-\sqrt{a^2-x^2-y^2}$的上侧，$a$为大于零的常数。

求$\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{\sin \frac{\pi }{n}}{n+1}+\frac{\sin \frac{2\pi }{n}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots +\frac{\sin \pi }{n+\frac{1}{n}})$。

设正项数列$\{a_n\}$单调减少，且$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{a}_n$发散。试问级数$\sum _{n=1}^{\infty }(\frac{1}{a_n+1}{)}^n$是否收敛？并说明理由。

设$y=f(x)$是区间$[0,1]$上的任一非负连续函数。完成下列各问：

已知二次曲面方程$x^2+a{y}^2+z^2+2bxy+2xz+2yz=4$可以经过正交变换$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{c}\xi \\ \eta \\ \zeta \end{array}\right)$化为椭圆柱面方程${\eta }^2+4{\zeta }^2=4$。完成下列各问：

设$A$是$n$阶矩阵。若存在正整数$k$，使线性方程组$A^{k}x=0$有解向量$\alpha$，且$A^{k-1}\alpha \ne 0$，证明向量组$\alpha ,A\alpha ,\cdots ,A^{k-1}\alpha$线性无关。

已知线性方程组①$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1,2n}{x}_{2n}=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2,2n}{x}_{2n}=0\\ ⋮\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{n,2n}{x}_{2n}=0\end{array}$的一个基础解系为$(b_{11},b_{12},\cdots ,b_{1,2n}{)}^T,(b_{21},b_{22},\cdots ,b_{2,2n}{)}^T,\cdots ,(b_{n1},b_{n2},\cdots ,b_{n,2n}{)}^T$。试写出线性方程组②$\{\begin{array}{l}{b}_{11}{y}_1+b_{12}{y}_2+\cdots +b_{1,2n}{y}_{2n}=0\\ b_{21}{y}_1+b_{22}{y}_2+\cdots +b_{2,2n}{y}_{2n}=0\\ ⋮\\ b_{n1}{y}_1+b_{n2}{y}_2+\cdots +b_{n,2n}{y}_{2n}=0\end{array}$的通解，并说明理由。

设两个随机变量$X,Y$相互独立，且都服从均值为$0$、方差为$\frac{1}{2}$的正态分布，求随机变量$|X-Y|$的方差。

从正态总体$N(3.4,6^2)$中抽取容量为$n$的样本。如果要求其样本均值位于区间$(1.4,5.4)$内的概率不小于$0.95$，问样本容量$n$至少应取多大？附表：标准正态分布表，$\Phi (z)={\int }_{-\infty }^z\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t$：

设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取$36$位考生的成绩，算得平均成绩为$66.5$分，标准差为$15$分。问在显著性水平$0.05$下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为$70$分？并给出检验过程。附表：$t$分布表，$P\{t(n)\le t_p(n)\}=p$。表中行变量为$n$，列变量为$p$，表内数值为$t_p(n)$：