真题库

设$f(x)=(1+x{)}^{\frac{x}{\tan (x-\frac{\pi }{4})}}$，考察区间$(0,2\pi )$。

确定常数$a,b,c$的值，使$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{ax-\sin x}{{\int }_b^x\frac{\ln (1+t^3)}{t}\mathrm{d}t}=c$（$c\ne 0$）。

给定微分方程$y^{\prime \prime }\cos x-2y^{\prime }\sin x+3y\cos x={\mathrm{e}}^x$，作代换$y=\frac{u}{\cos x}$。

计算积分${\int }_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{|x-x^2|}}$。

设有曲线$y=\sqrt{x-1}$，过原点作其切线，求由此曲线、切线及$x$轴围成的平面图形绕$x$轴旋转一周所得旋转体的表面积。

设$y=y(x)$是一向上凸的连续曲线，其上任意一点$(x,y)$处的曲率为$\frac{1}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}$，且此曲线上点$(0,1)$处的切线方程为$y=x+1$。

设$x\in (0,1)$。

设$(2E-C^{-1}B)A^T=C^{-1}$，其中$E$是$4$阶单位矩阵，$A^T$是$4$阶矩阵$A$的转置矩阵，$B=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -3& -2\\ 0& 1& 2& -3\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$，$C=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 0& 1& 2& 0\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$，求$A$。

已知${\alpha }_1=(1,4,0,2{)}^T,{\alpha }_2=(2,7,1,3{)}^T,{\alpha }_3=(0,1,-1,a{)}^T,\beta =(3,10,b,4{)}^T$。

求$\underset{n\to \infty }{\lim }(n\tan \frac{1}{n}{)}^{n^2}$（$n$为自然数）。

设$z=(x^2+y^2){\mathrm{e}}^{-\arctan \frac{y}{x}}$。完成下列各问：

设$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le x\}$，求${\iint }_D\sqrt{x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

某酒厂有一批新酿的好酒，若现在（假定$t=0$）售出，总收入为$R_0$元；若窖藏到$t$年末按陈酒价格出售，总收入为$R=R_0{\mathrm{e}}^{\frac{2}{5}\sqrt{t}}$。银行年利率为$r$，并以连续复利计息。完成下列各问：

设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f^{\prime }(x)\ne 0$。证明存在$\xi ,\eta \in (a,b)$，使得$\frac{f^{\prime }(\xi )}{f^{\prime }(\eta )}=\frac{{\mathrm{e}}^b-{\mathrm{e}}^a}{b-a}{\mathrm{e}}^{-\eta }$。

设有两条抛物线$y=n{x}^2+\frac{1}{n}$和$y=(n+1)x^2+\frac{1}{n+1}$，记它们交点横坐标的绝对值为$a_n$。完成下列各问：

设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)=1$。试证存在$\xi ,\eta \in (a,b)$，使得${\mathrm{e}}^{\eta -\xi }[f(\eta )+f^{\prime }(\eta )]=1$。

设函数$f(x)$在$[1,+\infty )$上连续。由曲线$y=f(x)$、直线$x=1,x=t(t>1)$与$x$轴所围成的平面图形绕$x$轴旋转一周所形成的旋转体体积为$V(t)=\frac{\pi }{3}[t^{2}f(t)-f(1)]$。完成下列各问：

设直线$y=ax$与抛物线$y=x^2$所围成图形的面积为$S_1$，它们与直线$x=1$所围成的图形面积为$S_2$，并且$a<1$。

设向量$\alpha =(a_1,a_2,\dots ,a_n{)}^T$、$\beta =(b_1,b_2,\dots ,b_n{)}^T$都是非零向量，且${\alpha }^T\beta =0$。记$n$阶矩阵$A=\alpha {\beta }^T$。完成下列各问：

已知下列非齐次线性方程组①和②：$\text{1◯}\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2-2x_4=-6,\\ 4x_1-x_2-x_3-x_4=1,\\ 3x_1-x_2-x_3=3;\end{array}\text{2◯}\{\begin{array}{l}{x}_1+m{x}_2-x_3-x_4=-5,\\ n{x}_2-x_3-2x_4=-11,\\ x_3-2x_4=-t+1.\end{array}$