真题库

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$，矩阵$B=(kE+A{)}^2$，其中$k$为实数，$E$为单位矩阵。完成下列各问：

某种商品每周的需求量$X$服从区间$[10,30]$上的均匀分布，而经销商进货数量为区间$[10,30]$中的某一整数。商店每销售一单位商品可获利$500$元；若供大于求，则削价处理，每处理$1$单位商品亏损$100$元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每$1$单位商品仅获利$300$元。为使商品所获利润期望值不小于$9280$元，试确定最少进货量。

一商店经销某种商品，每周进货数量$X$与顾客需求量$Y$是相互独立的随机变量，且都服从区间$[10,20]$上的均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润$1000$元；若需求量超过进货量，商店可从其他商店调剂供应，此时每单位商品获利润$500$元。计算该商店每周所得利润的期望值。

有来自三个地区的各$10,15,25$名考生的报名表，其中女生报名表分别为$3,7,5$份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份。完成下列各问：

某箱装有$100$件产品，其中一、二、三等品分别为$80$件、$10$件和$10$件。现从中随机抽取一件，记$X_i=\{\begin{array}{ll}1,& \text{若抽到 }i\text{ 等品},\\ 0,& \text{其他}\end{array}(i=1,2,3)$

计算$I={\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2)\mathrm{d}V$，其中$\Omega$为平面曲线$\{\begin{array}{l}{y}^2=2z\\ x=0\end{array}$绕$z$轴旋转一周形成的曲面与平面$z=8$所围成的区域。

计算曲线积分${\oint }_C(z-y)\mathrm{d}x+(x-z)\mathrm{d}y+(x-y)\mathrm{d}z$，其中$C$是曲线$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=1\\ x-y+z=2\end{array}$。从$z$轴正向往$z$轴负向看，$C$的方向是顺时针的。

在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的。设该人群的总人数为$N$，在$t=0$时刻已掌握新技术的人数为$x_0$，在任意时刻$t$已掌握新技术的人数为$x(t)$（将$x(t)$视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数$k>0$，求$x(t)$。

设直线$L:\{\begin{array}{l}x+y+b=0\\ x+ay-z-3=0\end{array}$在平面$\Pi$上，且平面$\Pi$与曲面$z=x^2+y^2$相切于点$(1,-2,5)$，求$a,b$之值。

设函数$f(u)$具有二阶连续导数，而$z=f({\mathrm{e}}^x\sin y)$满足方程$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}={\mathrm{e}}^{2x}z$，求$f(u)$。

设$f(x)$连续，$\phi (x)={\int }_0^{1}f(xt)\mathrm{d}t$，且$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=A$（$A$为常数）。

设$a_1=2,a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{1}{a_n}),n=1,2,\cdots$。

设$B$是秩为$2$的$5\times 4$矩阵，${\alpha }_1=(1,1,2,3{)}^T,{\alpha }_2=(-1,1,4,-1{)}^T,{\alpha }_3=(5,-1,-8,9{)}^T$是齐次线性方程组$Bx=0$的解向量，求$Bx=0$的解空间的一个标准正交基。

已知$\xi =\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$是矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 2\\ 5& a& 3\\ -1& b& -2\end{array}\right)$的一个特征向量。

设$A$是$n$阶可逆方阵，将$A$的第$i$行和第$j$行对换后得到的矩阵记为$B$。

从学校乘汽车到火车站的途中有$3$个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是$\frac{2}{5}$。设$X$为途中遇到红灯的次数。

设总体$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}(\theta +1)x^{\theta },& 0<x<1\\ 0,& \text{其它}\end{array}$，其中$\theta >-1$是未知参数。$x_1,x_2,\cdots ,x_n$是来自总体$X$的一个容量为$n$的简单随机样本。

求极限$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2+x-1}+x+1}{\sqrt{x^2+\sin x}}$。

设$y=y(x)$由方程组$\{\begin{array}{l}x=\arctan t\\ 2y-t{y}^2+{\mathrm{e}}^t=5\end{array}$所确定，求$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。

计算$\int {\mathrm{e}}^{2x}(\tan x+1{)}^2\mathrm{d}x$。