真题库

求微分方程$(3x^2+2xy-y^2)\mathrm{d}x+(x^2-2xy)\mathrm{d}y=0$的通解。

已知$y_1=x{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{2x}$，$y_2=x{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}$，$y_3=x{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{2x}-{\mathrm{e}}^{-x}$是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。

已知$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$，且$A^2-AB=E$，其中$E$是三阶单位矩阵，求矩阵$B$。

给定方程组$\{\begin{array}{l}2x_1+\lambda x_2-x_3=1\\ \lambda x_1-x_2+x_3=2\\ 4x_1+5x_2-5x_3=-1\end{array}$，完成下列各问：

设曲线$L$的极坐标方程为$r=r(\theta )$，$M(r,\theta )$为$L$上的任一点，$M_0(2,0)$为$L$上一定点。若极径$O{M}_0,OM$与曲线$L$所围成的曲边扇形面积值等于$L$上$M_0,M$两点间弧长值的一半，求曲线$L$的方程。

设函数$f(x)$在闭区间$[0,1]$上连续，在开区间$(0,1)$内大于零，并满足$x{f}^{\prime }(x)=f(x)+\frac{3a}{2}{x}^2$（$a$为常数）。又曲线$y=f(x)$与$x=1,y=0$所围成的图形$S$的面积值为$2$。完成下列各问：

已知函数$f(x)$连续，且$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=2$。设$\phi (x)={\int }_0^{1}f(xt)\mathrm{d}t$，完成下列各问：

就$k$的不同取值情况，确定方程$x-\frac{\pi }{2}\sin x=k$在开区间$(0,\frac{\pi }{2})$内根的个数，并证明结论。

在经济学中，称函数$Q(x)=A[\delta K^{-x}+(1-\delta )L^{-x}{]}^{-\frac{1}{x}}$为固定替代弹性生产函数，而称函数$\overline{Q}=A{K}^{\delta }{L}^{1-\delta }$为 Cobb–Douglas 生产函数（简称 C–D 生产函数）。试证明：当$x\to 0$时，固定替代弹性生产函数变为 C–D 生产函数，即有$\underset{x\to 0}{\lim }Q(x)=\overline{Q}$。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }[\frac{a}{x}-(\frac{1}{x^2}-a^2)\ln (1+ax)]$（$a\ne 0$）。

设$u=f(x,y,z)$有连续偏导数，$y=y(x)$和$z=z(x)$分别由方程${\mathrm{e}}^{xy}-y=0$和${\mathrm{e}}^x-xz=0$所确定，求$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$。

一商家销售某种商品的价格满足关系$p=7-0.2x$（万元/吨），$x$为销售量（单位：吨），商品的成本函数$C=3x+1$（万元）。若每销售一吨商品，政府要征税$t$（万元）。

假设某种商品的需求量$Q$是单价$p$（单位：元）的函数：$Q=12000-80p$；商品的总成本$C$是需求量$Q$的函数：$C=25000+50Q$；每单位商品需要纳税$2$元。

由曲线$y=x^2-2x,y=0,x=1,x=3$围成一个平面图形。

设函数$f(x)$在$[0,+\infty )$上连续、单调不减且$f(0)\ge 0$。定义$F(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}{\int }_0^x{t}^{n}f(t)\mathrm{d}t,& x>0\\ 0,& x=0\end{array}$，其中$n>0$。

从点$P_1(1,0)$作$x$轴的垂线，交抛物线$y=x^2$于点$Q_1(1,1)$；再从$Q_1$作这条抛物线的切线与$x$轴交于$P_2$，然后又从$P_2$作$x$轴的垂线，交抛物线于$Q_2$，依次重复上述过程得到一系列的点$P_1,Q_1;P_2,Q_2;\dots ;P_n,Q_n;\dots$。其中$n\ge 1$为自然数，而$\overline{M_1{M}_2}$表示点$M_1$与$M_2$之间的距离。

设函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内连续，且$F(x)={\int }_0^x(x-2t)f(t)\mathrm{d}t$。

设函数$f(t)$在$[0,+\infty )$上连续，且满足方程$f(t)={\mathrm{e}}^{4\pi t^2}+{\iint }_{x^2+y^2\le 4t^2}f(\frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2})\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，求$f(t)$。

设$D$是以点$O(0,0),A(1,2),B(2,1)$为顶点的三角形区域，求${\iint }_{D}x\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设$A$为$n$阶非奇异矩阵，$\alpha$为$n$维列向量，$b$为常数。记分块矩阵$P=\left(\begin{array}{cc}E& 0\\ -{\alpha }^T{A}^{\ast }& |A|\end{array}\right),Q=\left(\begin{array}{cc}A& \alpha \\ {\alpha }^T& b\end{array}\right)$，其中$A^{\ast }$是矩阵$A$的伴随矩阵，$E$为$n$阶单位矩阵。