真题库

设三阶实对称矩阵$A$的特征值是$1,2,3$；矩阵$A$的属于特征值$1,2$的特征向量分别是${\alpha }_1=(-1,-1,1{)}^T,{\alpha }_2=(1,-2,-1{)}^T$。

设矩阵$A$和$B$相似，且$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& 4& -2\\ -3& -3& a\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& b\end{array}\right)$。

假设随机变量$X$的绝对值不大于$1$；$P\{X=-1\}=\frac{1}{8},P\{X=1\}=\frac{1}{4}$；在事件$\{-1<X<1\}$出现的条件下，$X$在$(-1,1)$内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比。

假设随机变量$X$的绝对值不大于$1$；$P\{X=-1\}=\frac{1}{8},P\{X=1\}=\frac{1}{4}$；在事件$\{-1<X<1\}$出现的条件下，$X$在$(-1,1)$内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比。试求$X$的分布函数$F(x)=P\{X\le x\}$。

游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第$5$分钟、第$25$分钟和第$55$分钟从底层起行。假设一游客在早晨八点的第$X$分钟到达底层候梯处，且$X$在$[0,60]$上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。

假设随机变量$Y$服从参数为$\lambda =1$的指数分布，随机变量$X_k=\{\begin{array}{ll}0,& Y\le k\\ 1,& Y>k\end{array}$（$k=1,2$）。

两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为$5$的指数分布，且两台记录仪的无故障工作时间相互独立；首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动。记两台记录仪无故障工作的总时间为$T$。

求心形线$r=a(1+\cos \theta )$的全长，其中$a>0$是常数。

设$x_1=10,x_{n+1}=\sqrt{6+x_n}$（$n=1,2,\cdots$），试完成下列各问：

计算曲面积分${\iint }_S[(2x+z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y]$，其中$S$为有向曲面$z=x^2+y^2$（$0\le z\le 1$），其法向量与$z$轴正向的夹角为锐角。

设变换$\{\begin{array}{l}u=x-2y\\ v=x+ay\end{array}$可把方程$6\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}-\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=0$化简为$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial u\partial v}=0$，求常数$a$，其中$z=z(x,y)$有二阶连续的偏导数。

求级数$\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{(n^2-1)2^n}$的和。

设对任意$x>0$，曲线$y=f(x)$上点$(x,f(x))$处的切线在$y$轴上的截距等于$\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$，求$f(x)$的一般表达式。

设$f(x)$在$[0,1]$上具有二阶导数，且满足条件$|f(x)|\le a,|f^{\prime \prime }(x)|\le b$，其中$a,b$都是非负常数，$c$是$(0,1)$内任一点，证明$|f^{\prime }(c)|\le 2a+\frac{b}{2}$。

设$A=E-\xi {\xi }^T$，其中$E$是$n$阶单位矩阵，$\xi$是$n$维非零列向量，${\xi }^T$是$\xi$的转置。证明：

已知二次型$f(x_1,x_2,x_3)=5x_1^2+5x_2^2+c{x}_3^2-2x_1{x}_2+6x_1{x}_3-6x_2{x}_3$的秩为$2$。完成下列各问：

设$\xi ,\eta$是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知$P\{\xi =i\}=\frac{1}{3},i=1,2,3$。又设$X=\max (\xi ,\eta ),Y=\min (\xi ,\eta )$。完成下列各问：

计算积分${\iint }_D\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D=\{(x,y)\mid 0\le y\le x,x^2+y^2\le 2x\}$。

求齐次线性方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_5=0\\ x_1+x_2-x_3=0\\ x_3+x_4+x_5=0\end{array}$的基础解系。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{g(x)-{\mathrm{e}}^{-x}}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$，其中$g(x)$有二阶连续导数，且$g(0)=1,g^{\prime }(0)=-1$。完成下列各问：