真题库

计算${\int }_0^{\ln 2}\sqrt{1-{\mathrm{e}}^{-2x}}\mathrm{d}x$。

设$f(x,y)={\int }_0^{xy}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t$，求$\frac{x}{y}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}-2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}+\frac{y}{x}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$。

求$\int \frac{\mathrm{d}x}{1+\sin x}$。

设函数$z=f(u)$，方程$u=\phi (u)+{\int }_y^{x}p(t)\mathrm{d}t$确定$u$是$x,y$的函数，其中$f(u),\phi (u)$可微，$p(t),{\phi }^{\prime }(u)$连续，且${\phi }^{\prime }(u)\ne 1$。求$p(y)\frac{\partial z}{\partial x}+p(x)\frac{\partial z}{\partial y}$。

计算${\int }_0^{+\infty }\frac{x{\mathrm{e}}^{-x}}{(1+{\mathrm{e}}^{-x}{)}^2}\mathrm{d}x$。

设$\{\begin{array}{l}x={\int }_0^{t}f(u^2)\mathrm{d}u\\ y=[f(t^2){]}^2\end{array}$，其中$f(u)$具有二阶导数，且$f(u)\ne 0$，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。

求函数$f(x)=\frac{1-x}{1+x}$在$x=0$点处带拉格朗日型余项的$n$阶泰勒展开式。

设$f(x)$在区间$[0,1]$上可微，且满足条件$f(1)=2{\int }_0^{\frac{1}{2}}xf(x)\mathrm{d}x$。试证：存在$\xi \in (0,1)$使$f(\xi )+\xi f^{\prime }(\xi )=0$。

设某种商品的单价为$p$时，售出的商品数量$Q=\frac{a}{p+b}-c$，其中$a,b,c$均为正数，且$a>bc$。完成下列各问：

已知一抛物线通过$x$轴上的两点$A(1,0),B(3,0)$，且其轴平行于$y$轴。

求微分方程$y^{\prime \prime }+y^{\prime }=x^2$的通解。

求微分方程$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y-\sqrt{x^2+y^2}}{x}$的通解。

设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为$2a,2b$，用过此柱体底面的短轴与底面成$\alpha$角（$0<\alpha <\frac{\pi }{2}$）的平面截此柱体，得一楔形体（见图）。求此楔形体的体积$V$。

设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=f(b)$。求证：在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使$f^{\prime }(\xi )=0$。

已知线性方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2-2x_3+3x_4=0\\ 2x_1+x_2-6x_3+4x_4=-1\\ 3x_1+2x_2+p{x}_3+7x_4=-1\\ x_1-x_2-6x_3-x_4=t\end{array}$，完成下列各问：

设矩阵$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& y& 1\\ 0& 0& 1& 2\end{array}\right)$。完成下列各问：

计算不定积分$\int \frac{\arctan x}{x^2(1+x^2)}\mathrm{d}x$。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}1-2x^2,& x<-1\\ x^3,& -1\le x\le 2\\ 12x-16,& x>2\end{array}$。

设$A$为$4$阶实可逆矩阵，满足$|A|=-4,|3E+A|=0$，其中$E$是$4$阶单位矩阵，求$A$的伴随矩阵$A^{\ast }$的一个特征值。

设向量${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_t$是齐次线性方程组$AX=0$的一个基础解系，向量$\beta$不是方程组$AX=0$的解，即$A\beta \ne 0$。试证明：向量组$\beta ,\beta +{\alpha }_1,\beta +{\alpha }_2,\cdots ,\beta +{\alpha }_t$线性无关。