真题库

设函数$y=y(x)$由方程$2y^3-2y^2+2xy-x^2=1$确定。

假设一部机器在每个工作日内发生故障的概率均为$0.2$，且各工作日是否发生故障相互独立。机器发生故障时全天停止工作。若一周$5$个工作日里无故障，可获利润$10$万元；发生一次故障仍可获得利润$5$万元；发生两次故障所获利润$0$元；发生三次或三次以上故障就要亏损$2$万元。求一周内期望利润。

设$f(x)$在区间$[a,b]$上具有二阶导数，且$f(a)=f(b)=0,f^{\prime }(a)f^{\prime }(b)>0$。

某电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为$\lambda >0$的指数分布。当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作。求电路正常工作的时间$T$的概率分布。

考虑一元二次方程$x^2+Bx+C=0$，其中$B,C$分别是将一枚色子（骰子）接连掷两次先后出现的点数。完成下列各问：

假设$X_1,X_2,\cdots ,X_n$是来自总体$X$的简单随机样本，已知$E(X^k)=a_k$（$k=1,2,3,4$）。令$Z_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$，完成下列各问：

设$f(x)$为连续函数，$a$为正常数。

设$u=f(x,y,z),\phi (x^2,{\mathrm{e}}^y,z)=0,y=\sin x$，其中$f,\phi$都具有一阶连续偏导数，且$\frac{\partial \phi }{\partial z}\ne 0$，求$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$。

设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，并设${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=A$，求${\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_x^{1}f(x)f(y)\mathrm{d}y$。

计算曲面积分${\iint }_{\Sigma }z\mathrm{d}S$，其中$\Sigma$为锥面$z=\sqrt{x^2+y^2}$在柱体$x^2+y^2\le 2x$内的部分。

将函数$f(x)=x-1$（$0\le x\le 2$）展开成周期为$4$的余弦级数。

设曲线$L$位于$xOy$平面的第一象限内，$L$上任一点$M$处的切线与$y$轴总相交，交点记为$A$。已知$|\overline{MA}|=|\overline{OA}|$，且$L$过点$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$，求$L$的方程。

设函数$Q(x,y)$在$xOy$平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分${\int }_{L}2xy\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$与路径无关，并且对任意$t$恒有${\int }_{(0,0)}^{(t,1)}2xy\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y={\int }_{(0,0)}^{(1,t)}2xy\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$，求$Q(x,y)$。

假设函数$f(x),g(x)$在$[a,b]$上存在二阶导数，并且$g^{\prime \prime }(x)\ne 0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$。试证：

设三阶实对称矩阵$A$的特征值为${\lambda }_1=-1,{\lambda }_2={\lambda }_3=1$，对应于${\lambda }_1$的特征向量为${\xi }_1=(0,1,1{)}^T$，求$A$。

设$A$是$n$阶矩阵，满足$A{A}^T=E$（$E$是$n$阶单位阵，$A^T$是$A$的转置矩阵），$|A|<0$，求$|A+E|$。

设随机变量$X$的概率密度为$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-x},& x\ge 0\\ 0,& x<0\end{array}$，求随机变量$Y={\mathrm{e}}^X$的概率密度$f_Y(y)$。

求曲面$z=\frac{x^2}{2}+y^2$平行于平面$2x+2y-z=0$的切平面方程。

计算二重积分${\iint }_D{x}^{2}y\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D$是由双曲线$x^2-y^2=1$及直线$y=0,y=1$所围成的平面区域。

设方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+3x_2+2x_3+x_4=1\\ x_2+a{x}_3-a{x}_4=-1\\ x_1+2x_2+3x_4=3\end{array}$。