真题库

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{x^2}(1-\cos x),& x<0\\ 1,& x=0\\ \frac{1}{x}{\int }_0^x\cos t^2\mathrm{d}t,& x>0\end{array}$。

求$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1-\sqrt{\cos x}}{x(1-\cos \sqrt{x})}$。

设函数$y=y(x)$由方程$x{\mathrm{e}}^{f(y)}={\mathrm{e}}^y$确定，其中$f$具有二阶导数，且$f^{\prime }\ne 1$，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。

已知连续函数$f(x)$满足$f(x)={\int }_0^{3x}f(\frac{t}{3})\mathrm{d}t+{\mathrm{e}}^{2x}$，求$f(x)$。

求不定积分$\int (\arcsin x{)}^2\mathrm{d}x$。

设$f(x^2-1)=\ln \frac{x^2}{x^2-2}$，且$f[\varphi (x)]=\ln x$，求$\int \varphi (x)\mathrm{d}x$。

设函数$y=\ln (1-x-2x^2)$。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}x\arctan \frac{1}{x^2},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$，试讨论$f^{\prime }(x)$在$x=0$处的连续性。

计算${\iint }_{{\mathbb{R}}^2}\min \{x,y\}{\mathrm{e}}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导。证明：在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得$\frac{bf(b)-af(a)}{b-a}=f(\xi )+\xi f^{\prime }(\xi )$。

求摆线$\{\begin{array}{l}x=1-\cos t\\ y=t-\sin t\end{array}$一拱（$0\le t\le 2\pi$）的弧长。

设某产品的需求函数为$Q=Q(P)$，收益函数为$R=PQ$，其中$P$为产品价格，$Q$为需求量（产品的产量），$Q(P)$为单调减函数。当价格为$P_0$、对应产量为$Q_0$时，边际收益$\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}Q}{|}_{Q=Q_0}=a>0$，收益对价格的边际效应$\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}P}{|}_{P=P_0}=c<0$，需求对价格的弹性$E_P=b>1$。

设单位质点在水平面内作直线运动，以初始运动方向为正方向，初速度$v(0)=v_0>0$。质点所受水平方向的力只有阻力，阻力方向与速度相反，大小与速率成正比，比例常数为$1$，时间$t\ge 0$。

设$f(x)$、$g(x)$在区间$[-a,a]$（$a>0$）上连续，$g(x)$为偶函数，且$f(x)+f(-x)=A$（$A$为常数）。

求二元函数$z=f(x,y)=x^{2}y(4-x-y)$在由直线$x+y=6$、$x$轴和$y$轴所围成的闭区域$D$上的：

对于线性方程组$\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=\lambda -3\\ x_1+\lambda x_2+x_3=-2\\ x_1+x_2+\lambda x_3=-2\end{array}$，讨论：

已知向量组（I）${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$；向量组（II）${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$；向量组（III）${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_5$。如果向量组（I）、（II）、（III）的秩分别为$3,3,4$，证明向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_5-{\alpha }_4$的秩为$4$。

设函数$f(x)={\int }_0^{x^2}(2-t){\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$。

已知二次型$f(x_1,x_2,x_3)=4x_2^2-3x_3^2+4x_1{x}_2-4x_1{x}_3+8x_2{x}_3$。

设三阶矩阵$A$满足$A{\alpha }_i=i{\alpha }_i$（$i=1,2,3$），其中列向量${\alpha }_1=(1,2,2{)}^T,{\alpha }_2=(2,-2,1{)}^T,{\alpha }_3=(-2,-1,2{)}^T$，试求矩阵$A$。