真题库

设三阶矩阵$A$满足$A{\alpha }_i=i{\alpha }_i$（$i=1,2,3$），其中列向量${\alpha }_1=(1,2,2{)}^T,{\alpha }_2=(2,-2,1{)}^T,{\alpha }_3=(-2,-1,2{)}^T$，试求矩阵$A$。

设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，并设${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=A$，求${\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_x^{1}f(x)f(y)\mathrm{d}y$。

某厂家生产的每台仪器，以概率$0.70$可以直接出厂；以概率$0.30$需进一步调试，经调试后以概率$0.80$可以出厂，以概率$0.20$定为不合格品、不能出厂。现该厂新生产了$n$（$n\ge 2$）台仪器，假设各台仪器的生产过程相互独立。

设函数$y=\ln (1-x-2x^2)$。

设$y={\mathrm{e}}^x$是微分方程$x{y}^{\prime }+p(x)y=x$的一个解，求此微分方程满足条件$y{|}_{x=\ln 2}=0$的特解。

设$A$是$n$阶矩阵，满足$A{A}^T=E$（$E$是$n$阶单位阵，$A^T$是$A$的转置矩阵），$|A|<0$，求$|A+E|$。

设曲线$L$位于$xOy$平面的第一象限内，$L$上任一点$M$处的切线与$y$轴总相交，交点记为$A$。已知$|\overline{MA}|=|\overline{OA}|$，且$L$过点$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$，求$L$的方程。

将函数$f(x)=\frac{1}{4}\ln \frac{1+x}{1-x}+\frac{1}{2}\arctan x-x$展开成$x$的幂级数。

如图，设曲线方程为$y=x^2+\frac{1}{2}$，梯形$OABC$的面积为$D$，曲边梯形$OABC$的面积为$D_1$，点$A$的坐标为$(a,0)$（$a>0$）。证明$\frac{D}{D_1}<\frac{3}{2}$。

设$A$为$n$阶非零方阵，$A^{\ast }$是$A$的伴随矩阵，$A^T$是$A$的转置矩阵。当$A^{\ast }=A^T$时，证明$|A|\ne 0$。

设函数$f(x)$可导，且$f(0)=0$，$F(x)={\int }_0^x{t}^{n-1}f(x^n-t^n)\mathrm{d}t$，求$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)}{x^{2n}}$。

设$y=f(x+y)$，其中$f$具有二阶导数，且其一阶导数不等于$1$，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。

设线性方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+a_1{x}_2+a_1^2{x}_3=a_1^3\\ x_1+a_2{x}_2+a_2^2{x}_3=a_2^3\\ x_1+a_3{x}_2+a_3^2{x}_3=a_3^3\\ x_1+a_4{x}_2+a_4^2{x}_3=a_4^3\end{array}$。

设${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$是齐次线性方程组$Ax=0$的一个基础解系。证明：${\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_3+{\alpha }_1$也是该方程组的一个基础解系。

设$\frac{\sin x}{x}$是$f(x)$的一个原函数，求$\int x^3{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$。

假设随机变量$X_1,X_2,X_3,X_4$相互独立，且同分布，$P\{X_i=0\}=0.6,P\{X_i=1\}=0.4(i=1,2,3,4)$。求行列式$X=\left|\begin{array}{cc}{X}_1& X_2\\ X_3& X_4\end{array}\right|$的概率分布。

求$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sin 2x+2\sin x}$。

设$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ x& 1& y\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$有三个线性无关的特征向量，求$x$和$y$应满足的条件。

已知点$A$与$B$的直角坐标分别为$(1,0,0)$与$(0,1,1)$。线段$AB$绕$z$轴旋转一周所围成的旋转曲面为$S$。求由$S$及两平面$z=0$、$z=1$所围成的立体体积。

设函数$y=y(x)$满足条件$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime \prime }+4y^{\prime }+4y=0\\ y(0)=2,y^{\prime }(0)=-4\end{array}$，求广义积分${\int }_0^{+\infty }y(x)\mathrm{d}x$。