真题库

求极限$\underset{x\to \infty }{\lim }[x-x^2\ln (1+\frac{1}{x})]$。

设当$x>0$时，方程$kx+\frac{1}{x^2}=1$有且仅有一个解，求$k$的取值范围。

计算曲面积分${\iint }_S\frac{x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+z^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{x^2+y^2+z^2}$，其中$S$是由圆柱面$x^2+y^2=R^2$及两平面$z=R$、$z=-R$（$R>0$）所围成立体表面的外侧。

设$A$是$n$阶方阵，$2,4,6,\cdots ,2n$是$A$的$n$个特征值，$E$是$n$阶单位阵，计算行列式$|A-3E|$的值。

求微分方程$y^{\prime \prime }+a^{2}y=\sin x$的通解，其中常数$a>0$。

假设由自动线加工的某种零件的内径$X$（毫米）服从正态分布$N(\mu ,1)$，内径小于$10$或大于$12$的为不合格品，其余为合格品。已知销售一个零件的利润$T$（元）与内径$X$的关系为$T=\{\begin{array}{ll}-1,& X<10\\ 20,& 10\le X\le 12\\ -5,& X>12\end{array}$。问平均内径$\mu$取何值时，销售一个零件的平均利润最大？

在椭圆$x^2+4y^2=4$上求一点，使其到直线$2x+3y-6=0$的距离最短。

已知随机变量$(X,Y)$服从二维正态分布，且$X$和$Y$分别服从正态分布$N(1,3^2)$和$N(0,4^2)$，$X$与$Y$的相关系数${\rho }_{XY}=-\frac{1}{2}$，设$Z=\frac{X}{3}+\frac{Y}{2}$。

设函数$f(x)$可导，且$f(0)=0$，$F(x)={\int }_0^x{t}^{n-1}f(x^n-t^n)\mathrm{d}t$。证明$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)}{x^{2n}}=\frac{1}{2n}{f}^{\prime }(0)$。

设$f(x)$在点$x=0$的某一邻域内具有二阶连续导数，且$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=0$，证明级数$\sum _{n=1}^{\infty }f(\frac{1}{n})$绝对收敛。

假设$f(x)$在$[a,+\infty )$上连续，$f^{\prime \prime }(x)$在$(a,+\infty )$内存在且大于零，记$F(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x>a)$。证明$F(x)$在$(a,+\infty )$内单调增加。

求曲线$y=3-|x^2-1|$与$x$轴围成的封闭图形绕直线$y=3$旋转所得的旋转体体积。

设四元线性齐次方程组①为$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=0\\ x_2-x_4=0\end{array}$，又已知某线性齐次方程组②的通解为$k_1(0,1,1,0)+k_2(-1,2,2,1)$。

已知曲线$y=a\sqrt{x}$（$a>0$）与曲线$y=\ln \sqrt{x}$在点$(x_0,y_0)$处有公共切线。

已知曲线$y=a\sqrt{x}$（$a>0$）与曲线$y=\ln \sqrt{x}$在点$(x_0,y_0)$处有公共切线。

假设随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x,& 0<x<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$。现在对$X$进行$n$次独立重复观测，以$V_n$表示观测值不大于$0.1$的次数，求随机变量$V_n$的概率分布。

计算二重积分${\iint }_D(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le x+y+1\}$。

计算$\underset{n\to \infty }{\lim }{\tan }^n(\frac{\pi }{4}+\frac{2}{n})$。

设$f(x)$具有二阶连续导数，$f(0)=0$，$f^{\prime }(0)=1$，且$[xy(x+y)-f(x)y]\mathrm{d}x+[f^{\prime }(x)+x^{2}y]\mathrm{d}y=0$为一全微分方程。

设$f(x)$在$[0,1]$上连续且递减。证明：当$0<\lambda <1$时，${\int }_0^{\lambda }f(x)\mathrm{d}x\ge \lambda {\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$。