真题库

设随机变量$X,Y$相互独立，且$X\sim B(1,p),Y\sim B(2,p),p\in (0,1)$，则$X+Y$与$X-Y$的相关系数为 。

${\int }_0^2\frac{2x-4}{x^2+2x+4}\mathrm{d}x=$ 。

${\int }_1^{{\mathrm{e}}^2}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=$ 。

设$A,B,C$为随机事件，且$A$与$B$互不相容，$A$与$C$互不相容，$B$与$C$相互独立，$P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{3}$，则$P(B\cup C\mid A\cup B\cup C)=$ 。

已知级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n!}{n^n}{\mathrm{e}}^{-nx}$的收敛域为$(a,+\infty )$，则$a=$ 。

已知曲线$L$的极坐标方程为$r=\sin 3\theta (0\le \theta \le \frac{\pi }{3})$，则$L$围成的有界区域的面积为 。

已知函数$f(x)={\mathrm{e}}^{\sin x}+{\mathrm{e}}^{-\sin x}$，则$f^{\prime \prime \prime }(2\pi )=$ 。

$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{2}{)}^{\cot x}=$ 。

设$A$为 3 阶矩阵，交换$A$的第 2 行和第 3 行，再将第 2 列的$-1$倍加到第 1 列，得到矩阵$\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& -1\\ 1& -1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$，则$\mathrm{tr}(A^{-1})=$ 。

已知矩阵$A$和$E-A$可逆，其中$E$为单位矩阵。若矩阵$B$满足$[E-(E-A{)}^{-1}]B=A$，则$B-A=$ 。

微分方程$y^{\prime \prime \prime }-2y^{\prime \prime }+5y^{\prime }=0$的通解为$y(x)=$ 。

函数$f(x,y)=x^2+2y^2$在点$(0,1)$处的最大方向导数为 。

${\int }_0^1\frac{2x+3}{x^2-x+1}\mathrm{d}x=$ 。

已知函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}},& 0\le x\le 1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$，则${\int }_{-\infty }^{+\infty }\mathrm{d}x{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)f(y-x)\mathrm{d}y=$ 。

当$x\ge 0,y\ge 0$时，$x^2+y^2\le k{\mathrm{e}}^{x+y}$恒成立，则$k$的取值范围是 。

已知函数$y=y(x)$由方程$x^2+xy+y^3=3$确定，则$y^{\prime \prime }(1)=$ 。

设函数$y=y(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{t}}+t+1\\ y=4(t-1){\mathrm{e}}^{\mathrm{t}}+t^2\end{array}$所确定，则$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}{|}_{t=0}=$ 。

${\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{dx}}{x^2+2x+2}=$ 。

甲、乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球。令$X,Y$分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则$X$与$Y$的相关系数为 。

设$\Sigma$为空间区域$\{(x,y,z)\mid x^2+4y^2\le 4,0\le z\le 2\}$表面的外侧，则曲面积分${\iint }_{\Sigma }{x}^2\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y^2\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$ 。